高等数学竞赛题解析教程（2023）

陈仲，南京大学数学系教授。两次获江苏省高等教育优秀教学成果二等奖，曾获江苏省“三育人”先进个人，曾获南京人学“十佳教师”，连续三年被南京大学学生评为我喜爱的老师，多次承担普通高校高等数学竞赛命题工作。主要著作有：
　　《微分方程》
　　《微积分学引论（上、下）》
　　《大学数学教程（上、下）》
　　《微秘分（Ⅰ，Ⅱ）》
　　《线性代数》
　　《大学数学典型题解析》
　　《硕士研究生入学考试历年试题解析》

数学是自然科学发展和重大技术创新的基础，在我国加快建设科技强国的进程中具有重要的作用。高等数学（或称大学数学）是一年级大学生的基础课程。自2009年起，中国数学会已主办了十三届全国大学生数学竞赛（先初赛后决赛），竞赛类别分为非数学专业组与数学专业组；江苏省高等学校数学教学研究会从1991年至今也已主办了十九届大学生高等数学竞赛，竞赛类别分为本科一级A、本科一级B、本科二级与专科四类；北京市、浙江省等省市以及很多高等院校内部也常常组织大学生数学竞赛。
　　大学生数学竞赛的宗旨是贯彻与落实教育部关于普通高校要注重素质教育的指示，加强高等学校教师与学生对高等数学重要性的认识，培养大学生学习高等数学的兴趣，激发大学生对高等数学的热爱，以及促进高等学校对创新人才的发现、选拔与培养。它要求学生能够系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，并具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。大学生数学竞赛给广大学生提供了一个展示自己数学智慧和能力的平台，越来越受到高校师生的认可、重视和欢迎，大家的参赛热情很高。
　　为帮助大学生们复习迎考，提高应试水平，编者结合自己数十年的数学教学与命题经验编著的本书。本书依据全国大学生数学竞赛大纲与江苏省高等学校高等数学竞赛大纲，并参照教育部制定的考研数学考试大纲编写而成，内容分为极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、二重积分与三重积分、曲线积分与曲面积分、空间解析几何、级数、微分方程等九个专题，每个专题又含基本概念与内容提要、竞赛题与精选题解析、练习题三个部分。其中，竞赛题选自全国大学生数学竞赛试题（非理科专业1-13届初赛与决赛），江苏省（1-19届）、北京市（1-26届）、浙江省（1-10届以及2012-2022年）、广东省、天津市、陕西省等省市大学生数学竞赛试题，南京大学、东南大学、同济大学、厦门大学、清华大学、上海交通大学、湖南大学等高校高等数学竞赛试题，莫斯科大学等国外高校大学生数学竞赛试题；从近几年全国硕士研究生入学考试试题中也精心挑选了一些“好题”，还有些“好题”在竞赛与考研试卷中都没有出现过（其中不少是由编者设计），通通作为每个专题中的“精选题”，大大丰富了本书的内涵。这些题目中既含一些基本题，又含很多构思巧妙、解题技巧性强、具有较高水平和较大难度的创新题，编者逐条解析，深入分析，充分展示解题的方法与技巧。

专题1 极限与连续
1．1 基本概念与内容提要
1．1．1 一元函数基本概念
1．1．2 数列的极限
1．1．3 函数的极限
1．1．4 证明数列或函数极限存在的方法
1．1．5 无穷小量
1．1．6 无穷大量
1．1．7 求数列或函数的极限的方法
1．1．8 函数的连续性
1．2 竞赛题与精选题解析
1．2．1 求函数的表达式（例1．1-1．3）
1．2．2 利用极限的性质与四则运算求极限（例1．4-1．15）
1．2．3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1．16-1．20）
1．2．4 利用重要极限与等价无穷小替换求极限（例1．21-1．26）
1．2．5 连续性与间断点（例1．27-1．30）
1．2．6 零点定理与介值定理的应用（例1．31-1．35）
练习题一

专题2 一元函数微分学
2．1 基本概念与内容提要
2．1．1 导数的定义
2．1．2 左、右导数的定义
2．1．3 微分概念
2．1．4 基本初等函数的导数公式
2．1．5 求导法则
2．1．6 高阶导数
2．1．7 微分中值定理
2．1．8 泰勒公式与马克劳林公式
2．1．9 洛必达法则
2．1．10 导数在几何上的应用
2．2 竞赛题与精选题解析
2．2．1 利用导数的定义解题（例2．1-2．6）
2．2．2 利用求导法则解题（例2．7-2．11）
2．2．3 费马定理与微分中值定理的应用（例2．12-2．35）
2．2．4 马克劳林公式与泰勒公式的应用（例2．36-2．47）
2．2．5 求高阶导数（例2．48-2．58）
2．2．6 利用洛必达法则求极限（例2．59-2．68）
2．2．7 与导数有关的不等式的证明（例2．69-2．78）
2．2．8 导数的应用（例2．79-2．87）
练习题二
……

专题3 一元函数积分学
专题4 多元函数微分学
专题5 二重积分与三重积分
专题6 曲线积分与曲面积分
专题7 空间解析几何
专题8 级数
专题9 微分方程

练习题答案与提示