欢乐数学之疯狂微积分

微积分与日常生活有哪些交集？

本书通过28个引人入胜的故事，展示了微积分这种语言，它可以解决我们人类每天都在努力解决的问题——爱、风险、时间，以及最重要的事情——“变化”。

书分为“瞬间”和“永恒”两部分，从夏洛克·福尔摩斯到马克·吐温，它将发掘微积分、艺术、文学和一只与猫王同名的柯基犬之间的联系。

你将看到奇怪的符号、疯狂跳跃的逻辑以及微积分的真正用途。无论是数学恐惧症患者还是数学发烧友，这都将是一本影响终生的书。

本·奥尔林 Ben Orlin

一个不太擅长画画但擅长讲课的数学老师，毕业于耶鲁大学数学系，教过12～18岁各种层次的数学，偶尔也讲讲心理学、生物学、英语、认识论甚至地球科学。

他是“数学和烂插画”（mathwithbaddrawings.com）博客的作者，同时也为《大西洋月刊》、线上杂志Slate 、《洛杉矶时报》和《芝加哥论坛报》撰写与数学相关的文章。

已出版中文版作品：《欢乐数学》。

引言

大约在100 万天以前，古希腊哲学家巴门尼德说：“存在者不是产生出来的，也不能被消灭，因为它是完全的、不动的、无止境的。”这是一种大胆的哲学理论。巴门尼德不承认分裂，不承认区别，不承认未来，也不承认过去。“它既非过去存在，亦非将来存在，因为它整个在现在，是个连续的一（one）。”他解释说。在巴门尼德看来，宇宙大概就像洛杉矶市区的交通：永远停滞不前。

在近100 万天后的今天来看，这仍然是一个极为冒失的观点。

喂，巴门尼德，不论你如何擅长用诗歌和形容词来混淆视听、偷换概念，我们都不会上当的。100 万天前，世界上还没有佛教徒、基督徒，也没有伊斯兰教信仰者，因为那时佛陀、耶稣和穆罕默德都还没有出生。100 万天前，意大利人还不吃番茄酱，毕竟连“意大利”这个名词都还没有出现，而离那里最近的番茄地也在6 000英里以外。100万天前，整个地球上只有5 000 万到1 亿人；而现在，这个数字仅仅是每年迪士尼乐园的游客总量。

事实上，巴门尼德，今天只有两件事和100 万天前是一样的：无处不在的变化；你的哲学理论是无可救药的谬误。

这是我在本书中最后一次提及巴门尼德（不过他那更聪明一些的弟子芝诺稍后会出现）——嗬，总算摆脱这个身穿长袍的怪老头了。现在，我们暂且略过与他同时代的赫拉克利特（那位说出“人不能两次踏入同一条河流”的智者），来到17 世纪晚期，也就是12 万或13 万天之前。就在那时，一位名叫艾萨克·牛顿的科学家和一位名叫戈特弗里德·莱布尼茨的学者创造了本书的主角——一种全新的数学形式，一种关于变化的语言，以及一个对地球上的变化进行量化的尝试。今天，我们称这种数学形式为“微积分”。

微积分的第一个工具是导数。导数是一种瞬时的变化速率，可以告诉我们某个物体在某一瞬间是如何变化的。比如苹果砸到牛顿脑袋的速度。

在砸中脑袋的这一秒前，苹果的运动速度稍微减慢了一些；在这一秒后，它则朝着完全相反的方向运动——自然科学史也正是从这一瞬间开始改变了走向。不过呢，导数并不关心自己的前一秒或后一秒，它关心的只有当下的这一瞬间：一个无穷小的时间。

微积分的第二个工具是积分。积分是无数个碎片的总和，而其中的每个碎片都是无穷小的。想象一下这个画面：无数个等大的圆形，每个圆形都是一个投影面，它们组合起来，就可以变成一个立体的物体——球体；或是一群人，每个人都如同微不足道的原子般渺小，但团结在一起，却能构成一个完整的文明；抑或是一连串的瞬间，每个瞬间本身都无限接近0秒，却能累积成一个小时，一万年，直至永恒。

每一个积分都为整体的形成做出了贡献，这里的整体指的是银河系中的任意一个物体——一个可以通过数学的全景镜头以某种方式捕捉到的物体。

作为专业的技术工具，导数和积分早已声名远扬，但我相信它们能为我们做的不只是这些。我们就像一艘艘小船，遭受着风吹浪打，面临着汹涌波涛，而在我看来，导数和积分就像是可以随身携带的哲学：向航行在这湍急的世界河流中的我们伸出了桨。

所以，我将通过这本书，尝试从数学中提炼出人生智慧。

在本书的上篇——瞬间，我们将探索导数的故事。每一个故事片段都是从潺潺的时间洪流中提取的一个瞬间，包括一毫米的月球轨道、一小口黄油吐司、一粒尘埃飘忽不定的运动，以及一只狗在一瞬间做出的决定……如果把导数比作显微镜，那么这里的每一个故事都是我精心挑选出来的载玻片——展现了一幅幅微型场景。

在本书下篇——永恒，我们将利用积分的力量，把无数的水滴汇聚成流。我们会遇到一个由小碎片组成的圆圈、一支由无数士兵组成的军队、一道由无数建筑组成的天际线，以及一个由亿万颗恒星组成的宇宙……如果说积分是一部宽屏电影，那么这里的每个故事都是你必须去影院才能欣赏到的宏大史诗，而在家里的电视上根本无法感受到它的壮阔无垠。

不过，有件事我得先说清楚，你手中的这本书不会“教你微积分”。它不是一本循序渐进、深入浅出的教科书，而是一本用非技术语言写给普通读者的，形式不拘一格、插图水平一般的通俗读物。作为本书的读者，你可以对微积分一窍不通，也可以是微积分方面的专家，但无论如何，我都希望书中的故事能为你带来一些欢笑和见解。

我没办法在这本书里写完所有故事，例如费马的弯曲光线、牛顿留下的谜题、不存在的狄拉克函数……这些都没能收录进本书。不过，在这千变万化的世界里，本就没有一部作品能做到详尽无遗，也没有一个神话故事有真正的结局，毕竟，时间的洪流还在继续汹涌向前。

引言

上篇 瞬间

第1章 即逝的时间——在这一章，微积分实现了某人的愿望

第2章 不断坠落的月亮——在这一章，牛顿用微积分解释了整个宇宙

第3章 黄油吐司：昙花一现的幸福感——在这一章，微积分俘获了一颗心

第4章 全世界通用的语言——在这一章，微积分带着我们叱咤商海

第5章 当密西西比河绵延万里——在这一章，微积分捉弄了所有人

第6章 福尔摩斯的和迷路的自行车——在这一章，微积分发现了关键线索

第7章 一部未经授权的潮流传记——在这一章，微积分预测了未来

第8章 风留下了什么——在这一章，微积分设下一道迷题

第9章 如尘埃般漫天飞舞——在这一章，微积分难倒了植物学家

第10章 绿头发女孩和超时空旋涡——在这一章，一个丈夫在微积分面前相形见绌

第11章 住在海边的落难公主——在这一章，公主用微积分打下了江山

第12章 让世界变成废墟的回形针——在这一章，微积分带来了世界末日

第13章 笑到最后的曲线——在这一章，微积分改变了税收政策

第14章 嗨，小狗教授——在这一章，微积分一夜爆红

第15章 我们用微积分算一算吧——在这一章，微积分可以解决一切问题

下篇 永恒

第16章 书中那些圆圆圈圈——在这一章，微积分被切成了黄瓜片

第17章 战争与和平，还有积分学——在这一章，微积分彻底改变了历史的走向

第18章 黎曼的城市天际线——在这一章，微积分是个城市规划师

第19章 一部伟大的微积分大全——在这一章，微积分举办了一场晚宴

第20章 积分号下的故事就留在积分号下吧——在这一章，微积分得到了一个百宝箱

第21章 一挥笔就放弃了存在——在这一章，微积分抹去了68%的已知宇宙

第22章 1994年：微积分诞生的那一年——在这一章，微积分被用来监测血糖

第23章 假如一定会有痛苦——在这一章，微积分可以衡量灵魂

第24章 与众神作战——在这一章，微积分击退了罗马人的进攻

第25章 从看不见的球体说起——在这一章，微积分触及了四维空间

第26章 高耸入云的抽象果仁——在这一章，微积分只是一个注脚

第27章 加百列，吹响你的小号吧——在这一章，微积分被视为异端邪说

第28章 不可能的场景——在这一章，微积分让人烦躁

课堂笔记

参考文献

致谢