结构随机动力学

本书从随机动力学发展的历史脉络入手，依次介绍了随机动力学的概率论数学基础，包括随机变量和随机过程的基本原理；进而介绍了工程中常见随机动力激励（如风、地震、海浪）的随机物理建模；然后阐述了考虑结构参数随机性的随机结构分析的主要方法、以及考虑激励随机性的随机振动分析方法；在此基础上，从概率守恒原理的两类描述（随机事件描述和概率空间描述）出发，着重介绍了进行高维随机动力系统分析的概率密度演化理论，详细阐述了广义密度演化方程的理论推导和数值求解方法。最后，介绍了结构可靠度和最优控制理论，并详细阐述了概率密度演化理论在复杂结构系统可靠度评估和随机最优控制方面的应用方法。本书最重要贡献是对概率密度演化方法的清晰表述及其在地震激励和风浪作用下评估结构动力可靠度和控制问题的应用。

李杰，同济大学土木工程学院特聘教授、中国科学院院士。从事主要工作：随机动力系统分析与控制、随机损伤力学、混凝土结构基本理论、工程结构可靠度分析、工程网络抗灾可靠性分析、灾害性动力作用建模。

主要成果：在随机动力学、随机损伤力学、工程结构可靠性分析与工程网络可靠度研究中做出了具有国际声望的学术贡献，包括：①提出了物理随机系统研究的基本思想，创造性地发展了随机结构与随机系统分析理论；②建立了混凝土随机损伤力学的基本理论框架；③具有独创性地建立了结构整体可靠度分析的“物理综合法”，形成了统一解决结构整体可靠度分析问题的基本理论体系；④建立了大型工程网络抗震可靠性分析理论与设计技术。

陈建兵，同济大学土木工程学院特聘教授、国家杰出青年科学基金获得者，从事主要工作：结构随机动力学与控制、工程可靠性理论与方法、结构非线性分析。

主要成果：在随机动力学、工程结构可靠性分析研究中取得了重要进展，特别致力于发展工程结构灾害随机响应分析与抗灾可靠性控制的概率密度演化理论。成果在一系列重大工程中得到成功应用。

原版于2009年由John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd.出版，并在同济大学土木工程学院官网列为列为研究生的推荐书之一，包括中国科学院外籍院士Spanos教授对本书的高度评价，其研究成果应用场景在地震、风和海洋工程中被引用度较高，简体中文版由律梦泽博士翻译。

作为一门科学学科，结构随机动力学已经从20世纪40年代初的幼年期发展为如今相对成熟的动力学分支。在此过程中，基本的随机振动理论被认为是在20世纪50年代末建立的。它主要处理结构对随机激励的响应分析，如建筑物和桥梁对风荷载和地震的响应、车辆行驶的振动、大气湍流和喷气噪声引起的飞机动力学行为。20世纪60年代末，结构参数中随机性对结构响应的影响的重要性逐渐得到认识，由此引出了随机结构分析（许多学者也称之为随机有限元分析）。在过去的40年中，在此两方面已经有大量的文献发表。但是，细心的人可能会发现，随机振动理论和随机有限单元分析似乎在以两种平行的方式发展。对于大多数工程师而言，即使是那些熟悉随机分析的专家，也很难将他们对动力学两个分支的理解组织于系统的框架中。因此，本书的首要目标是为结构的随机动力学提供一个连贯、合理且自洽的理论框架，以弥补传统随机振动理论和随机有限单元分析方法之间的空白。我们希望这种处理方法能够为随机动力响应分析、可靠性评估与系统控制提供一个综合的基础。

第二个目标可能更为重要，并且可能有些雄心勃勃，即在一个统一的新理论框架中处理结构随机动力学的基本内容。我们将其称为物理随机系统的框架。大多数人都知道，在许多实际应用中，所关注的系统通常表现出非线性。但是，对于非线性动力学系统而言，经典随机动力学理论涉及相当的复杂性。经由随机振动和随机有限元分析领域的大量研究工作，尽管简单结构模型已经取得了重要进展，但是人们仍然不能合理地解决非线性随机动力系统的问题，特别是对于实际的复杂结构。缘于对非线性随机系统提供合理的描述并开发适当分析工具的动因，在过去的15年中，我们在这一困难的领域进行了系统的研究。追溯到本学科的源头，我们发现在随机动力学研究中存在两种历史传统： 现象学传统和物理学传统。由于引入了维纳过程，这两种传统有了内在的联系。但是，如果我们回到物理过程本身（也就是说，从物理角度研究随机现象），那么将指引我们走向另一种可能的道路： 基于物理研究随机系统。沿着这一路线，本书给出了动力学系统的物理样本轨迹与其概率描述之间的关系的合理描述，由此建立了一类动力学系统的广义概率密度演化方程，该方程可以以统一的形式处理线性与非线性系统。我们发现，基于物理随机系统的思想，传统的随机振动理论和随机有限元方法可以合理地纳入新的理论框架。显然，这为在一个综合框架中重新梳理结构随机动力学的内容提供了基础。本书试图介绍这一进展，并提出实用的方法和可行算法。

本书面向土木工程、机械工程、飞机和海洋工程以及力学领域的研究生和专业人士。读者的知识储备需达到科学或工程学士的水平，尤其对概率论与结构动力学的概念有基本了解。此外，为使本书独立完整，还介绍了随机变量、随机过程和随机场的基本概念。

首先诚挚地感谢美国莱斯大学（Rice University）的Pol D. Spanos教授的友好鼓励，以及美国南加利福尼亚大学（University of Southern California）Roger G. Ghanem教授的建设性意见和富有成果的讨论。也特别感谢美国加利福尼亚理工学院（California Institute of Technology）的Wifred D. Iwan教授、大连理工大学的欧进萍教授和日本名古屋工业大学（Nagoya Institute of Technology）的赵衍刚教授的宝贵帮助和建议。本书第一作者希望借此机会对英国萨塞克斯大学（University of Sussex）的John B. Roberts教授表示由衷的感谢，1993至1994年作者在萨塞克斯大学进行高级访问学者研究期间，Roberts教授给予了作者慷慨的支持，使作者得以完成随机结构分析和建模的研究。深切怀念John B. Roberts教授！同时，感谢同济大学的同事吕西林教授、李国强教授、顾明教授、陈以一教授和楼梦麟教授一直以来的合作和支持。

作者的大部分研究工作是在国家自然科学基金委的支持下进行的，包括国家杰出青年科学基金（第一作者于1998年获得）、青年学者基金（第二作者于2004年获得）和创新研究群体计划。感谢所有的支持。

李杰、陈建兵

2008年6月于上海

第1章 绪论
1.1 动机和历史线索
1.2 本书内容
参考文献
第2章 随机过程和随机场
2.1 随机变量
2.1.1 引言
2.1.2 随机变量的运算
2.1.3 随机向量
2.1.4 相关矩阵分解
2.2 随机过程
2.2.1 随机过程描述
2.2.2 随机过程的矩函数
2.2.3 随机过程的谱描述
2.2.4 期望、相关性和谱的一些运算法则
2.2.5 卡胡奈李维分解
2.3 随机场
2.3.1 基本概念
2.3.2 随机场的相关结构
2.3.3 随机场的离散化
2.3.4 随机场分解
2.4 随机函数的正交分解
2.4.1 度量空间和赋范线性空间
2.4.2 希尔伯特空间和一般正交分解
2.4.3 随机函数的正交分解
参考文献
第3章 随机动力激励模型
3.1 随机激励的一般表达
3.1.1 动力激励和建模
3.1.2 平稳和非平稳过程模型
3.1.3 随机傅里叶谱模型
3.2 地震动
3.2.1 一维模型
3.2.2 随机场模型
3.2.3 物理随机模型
3.3 边界层脉动风速
3.3.1 结构风压和风速
3.3.2 脉动风速功率谱密度
3.3.3 脉动风速随机傅里叶谱
3.3.4 随机傅里叶相干谱
3.4 风浪和海浪谱
3.4.1 风浪和波浪力
3.4.2 风浪的功率谱密度
3.4.3 方向谱
3.5 随机激励的正交分解
3.5.1 随机过程的正交分解
3.5.2 哈特利正交基函数
3.5.3 地震动的正交展开
3.5.4 脉动风速过程的正交展开
参考文献
第4章 随机结构分析
4.1 引言
4.2 确定性结构分析基础
4.2.1 有限元分析的基本思想
4.2.2 单元刚度矩阵
4.2.3 坐标变换
4.2.4 静力方程
4.2.5 动力方程
4.3 随机模拟方法
4.3.1 蒙特卡罗方法
4.3.2 均匀分布随机变量的抽样
4.3.3 一般概率分布随机变量的抽样
4.3.4 随机模拟方法
4.3.5 随机模拟方法的精度
4.4 摄动方法
4.4.1 确定性摄动
4.4.2 随机摄动
4.4.3 随机矩阵
4.4.4 随机矩阵的线性表达
4.4.5 动力响应分析
4.4.6 久期项问题
4.5 正交展开理论
4.5.1 正交分解和次序正交分解
4.5.2 扩阶系统方法
4.5.3 扩阶系统方法的证明
4.5.4 动力分析
4.5.5 递归聚缩算法
参考文献
第5章 随机振动分析
5.1 引言
5.2 响应的矩函数
5.2.1 时域下单自由度系统的响应
5.2.2 时域下多自由度系统的响应
5.3 功率谱密度分析
5.3.1 频响函数和功率谱密度
5.3.2 演变谱分析
5.4 虚拟激励法
5.4.1 平稳随机响应分析的虚拟激励法
5.4.2 演变随机响应分析的虚拟激励法
5.4.3 关于5.2至5.4节的注记
5.5 统计线性化
5.5.1 统计线性化近似
5.5.2 滞回结构的随机振动
5.5.3 关于争议和一些特殊问题的注记
5.6 FPK方程
5.6.1 随机微分方程
5.6.2 FPK方程
5.6.3 FPK方程的解
参考文献
第6章 概率密度演化分析：理论
6.1 引言
6.2 概率守恒原理
6.2.1 随机变量的函数及其概率密度函数
6.2.2 概率守恒原理
6.3 马尔可夫系统和状态空间描述：刘维尔方程和FPK方程
6.3.1 刘维尔方程
6.3.2 FPK方程
6.4 多斯图波夫普加乔夫方程
6.4.1 从运动方程到随机状态方程
6.4.2 多斯图波夫普加乔夫方程
6.5 广义概率密度演化方程
6.5.1 广义概率密度演化方程的推导
6.5.2 线性系统： 多斯图波夫普加乔夫方程的解耦
6.5.3 初始和边界条件
6.5.4 广义概率密度演化方程的物理意义
6.6 广义概率密度演化方程的解
6.6.1 解析解
6.6.2 广义概率密度演化方程的数值求解过程
参考文献
第7章 概率密度演化分析： 数值方法
7.1 一阶偏微分方程的数值求解
7.1.1 有限差分法
7.1.2 耗散、色散和总变差不增格式
7.2 代表性点集和赋得概率
7.2.1 球体填充、覆盖和空间剖分
7.2.2 代表性点集和赋得概率
7.2.3 点集的一阶和二阶偏差
7.2.4 构造代表性点的两个步骤
7.3 生成基本点集的策略
7.3.1 球体填充： 切球法
7.3.2 小覆盖： 格栅法
7.3.3 数论法
7.4 密度相关变换
7.4.1 仿射变换
7.4.2 密度相关变换
7.4.3 径向衰减分布： 球形筛分和伸缩变换
7.5 非线性多自由度结构的随机响应分析
7.5.1 非线性随机结构响应
7.5.2 非线性结构的随机地震响应
参考文献
第8章 结构动力可靠度
8.1 结构可靠度分析基础
8.1.1 结构可靠度
8.1.2 结构动力可靠度分析
8.1.3 结构整体可靠度
8.2 动力可靠度分析： 基于跨越假定的首次超越概率
8.2.1 跨越率
8.2.2 跨越假定和首次超越概率
8.2