群概形及其作用论

群概形是代数几何与算术代数几何的重要课题。本书内容不仅包括群概形的基本理论，而且包括其他一些相关课题，其中有些是工具，有些是基本的应用，有些是这两方面兼而有之。除此之外，书中还有一些关于历史、数学语言、思想方法与几何直观等的“聊天”。

本书可用作研究生高等教科书，书中使用概形的语言作为基本语言，所需要的预备知识为代数几何的基础知识。

群概形是代数几何与算术代数几何的重要课题, 也是一个强有力的工具, 很多学生和研究者对此很需要。

但是, 这方面的文献浩如烟海, 而且所采用的语言大相径庭, 使初学者有相当大的困难。

作者在大约二十年前已强烈感到在这方面很需要一本全面系统且采用统一语言的教科书, 并开始着手准备。

在准备过程中发现困难很大, 经常遇到一些文献中的断言有误或可疑, 至于有漏洞的证明就更多了。因此,

对于这方面的各课题都需要再研究, 最好是

系统地讲一遍甚至多遍。幸运的是, 自 1998 年始, 作者参加中国科学院

晨兴数学中心算术代数几何讨论班十余年, 后来又在首都师范大学讲授该

方面的课程五年多, 晨兴中心的同事们和首都师范大学的研究生们以严谨甚至苛刻的态度对待作者的报告,

使得很多疑问得以澄清, 很多错误得以及时纠正。

在这段时期, 作者曾与很多专家就本书的各课题做了深入的讨论, 其间还访问了台湾理论研究中心、马普数学所、

苏黎世高工和东京大学, 这些都很有助于本书的准备。

在经过十余年的准备后, 作者开始本书的写作, 在写作过程中又多次讲授其中的内容, 并根据反馈意见

修订。

本书可看作研究生高等教科书。书中使用概形的语言作为基本语言 (与此对照, 许多其他教科书不完全使用

概形的语言)。所需要的预备知识为代数几何的基础知识 (例如 Hartshorne 的 [H], Grothendieck

的 [EGA] 更佳)。本书的内容不仅包括群概形的基本理论, 而且包括其他一些相关课题, 其中有些是工具

(主要是第 I! V 章和第 V 章), 有些是基本的应用 (主要是第 V! I.2 节, 第 V! I! I.4 节和第 I! X 章),

有些是这两方面兼之 (主要是第 V! I.1 节和第 X! I 章)。这些都是很多研究者所需要的基本内容。

读者可能感觉这些课题有不同的的深度和难度。

除了主要课题外, 书中还有一些关于历史、数学语言、思想方法与几何直观等的“聊天”, 这些内容比起

主要课题来要容易得多, 有时还很初等。其中有些聊天可能只是作者个人的观点。读者可以略过这些聊天

而不损失主要课题的任何内容。

尽管书中的大部分内容可见于文献, 但很少采用文献中的处理, 这不仅是为了避免错误, 更是因为

一本书的篇幅不允许冗长的证明, 且需要采取统一的语言甚至记号。这显然是一个十分艰巨的任务,

在写作中必然会出现很多缺点和错误, 甚至严重的错误。如果没有同事们和学生们的帮助, 是不可能完成的。

尽管如此, 书中的缺点和错误仍是无法避免的, 只能待出版后根据读者的意见进一步修改。

本书在写作上力求自足, 力求精炼, 尽可能给读者以方便, 但阅读本书需要很大的努力和耐心。

书中各章节有一些习题, 这些习题基本上都是作者在讲学中积累的, 远非充足, 但

有助于对正文的理解, 其中有些结果是有用的。

作者希望感谢下列专家, 他们曾就本书中的课题与作者进行了富有启发性的讨论: Pierre Berthelot, Spencer Bloch,

翟敬立, Gerd Faltings, 扶磊, Gerard van der Geer, 橋本喜一郎 (Kiichiro Hashimoto),

伊吹山知義 (Tomoyoshi Ibukiyama,), Luc Illusie, 桂利行 (Toshiyuki Katsura), 黎景輝 (King Fai Lai),

Vikram Mehta, 宫西正宜 (Masayoshi Miyanishi), 森重文 (Shigefumi Mori),

Niels Nygaard, 小田忠雄 (Tadao Oda), Arthur Ogus, Frans Oort, Richard Pink, 徐飞, 徐克舰,

杨富中, Yuri Zarhin; 希望感谢中国科学院晨兴数学中心、台湾理论研究中心、马普数学所、

苏黎世高工和东京大学提供了很好的研究环境和条件; 感谢晨兴中心算术代数几何讨论班的同事们和首都师范

大学的研究生们对本书的贡献。

本书是使用天元软件写的, 为此必须感谢不幸病逝的朋友、代数几何学家肖刚, 他所编制的天元软件是 TeX 的

接口软件, 不仅可以用于中文, 而且有很强的画图功能, 迄今尚无其他排版软件可达到; 还应感谢另一位朋友、

代数几何学家陈志杰, 他将天元软件推进为通用和方便的版本并长期维护。他们二位对作者都曾经常指导。

作者希望感谢国家自然科学基金的长期资助 (实际上作者自 1987 年回国以来一直在国家自然科学基金重点项目或数学

天元基金项目资助下工作), 由于国家自然科学基金的评审重质量而不是重数量, 作者可以长期集中精力于较深入的

研究工作, 而不必急于发表阶段性的结果。否则, 耗时十余载写一本书是不可想象的。