数学分析（原书第2版·典藏版）

本书是在“高等微积分”的水平上阐述数学分析中的论题，提供了从初等微积分向实变函数论及复变函数论中的高等课程的一种过渡，而且介绍了某些涉及现代分析的抽象理论．内容既涵盖既包括我国大学的数学分析课程的内容，又包括勒贝格积分及柯西定理和留数计算等.本书条理清晰，内容精练，言简意赅，适合作为高等院校本科生数学分析课程的教材．

汤姆·M.阿波斯托尔(Tom M.Apostol)是加州理工学院数学系荣誉教授。他于1946年在华盛顿大学西雅图分校获得数学硕士学位，于1948年在加州大学伯克利分校获得数学博士学位。

适读人群 ：数学系及相关专业本科生
本书是一部现代数学名著。自20世纪70年代面世以来，一直受到西方学术界、教育界的广泛推崇，被许多知名大学指定为教材。
　　本书是在“高等微积分”的水平上阐述数学分析中的论题，提供了从初等微积分向实变函数论及复变函数论中的高等课程的一种过渡，而且介绍了某些涉及现代分析的抽象理论．内容既涵盖我国大学的数学分析课程的内容，又包括勒贝格积分及柯西定理和留数计算等.
本书条理清晰，内容精练，言简意赅，适合作为高等院校本科生数学分析课程的教材．

从目录可以看出，本书是在“高等微积分”的水平上阐述数学分析中的论题．编写本书的目的在于展现这门学科，所以要求叙述忠实于原貌、精确严密，包含新进展，同时又不过于学究气．本书提供了从初等微积分向实变函数论及复变函数论等高等课程的一种过渡，并介绍了一些涉及现代分析的抽象理论．
与第1版相比，第2版的主要更新表现在以下方面：在考虑一般的度量空间以及n维欧氏空间时介绍点集拓扑；增加了关于勒贝格积分的两章；删去了曲线积分、向量分析和曲面积分的内容；重排了某些章的顺序；完全重写了很多节；增加了若干新的练习．
勒贝格积分由Riesz-Nagy方法引入，此方法直接着眼于函数及其积分，而不依赖于测度论．为了适应大学本科水平的教学，在介绍勒贝格积分时，进行了简化、延伸和调整．
本书第1版曾被用于从本科一年级到研究生一年级各种水平的数学课程，既用作教科书，又用作补充参考书．第2版保持了这种灵活性．例如，第1章至第5章及第12章和第13章可用于单变量或多变量函数的微分学课程，第6章至第11章及第14章和第15章可用于积分学的课程．也可以按其他方式进行多种组合，教师则可以参考下一页的图示根据自己的需要选择适当的章节，图中显示了各章之间的逻辑依赖关系．
我要向不厌其烦地就第1版写信给我的许多人表示感谢，他们的评论和建议有助于我进行修订．特别要感谢Charalambos Aliprantis博士，他细心地阅读了第2版的全部手稿并提出了许多有益的建议，还提供了某些新的练习．最后，向加州理工学院的学生们表示由衷的感谢，是他们对数学的热情激发了我编著此书的原动力．

T.M.A.
1973年9月于帕萨迪纳

译者序
前言
第1章　实数系与复数系1
　　1.1　引言1
　　1.2　域公理1
　　1.3　序公理2
　　1.4　实数的几何表示2
　　1.5　区间3
　　1.6　整数3
　　1.7　整数的唯一因数分解定理4
　　1.8　有理数5
　　1.9　无理数5
　　1.10　上界、最大元和最小上界(上确界)6
　　1.11　完全公理7
　　1.12　上确界的某些性质7
　　1.13　从完全公理推演出的整数性质8
　　1.14　实数系的阿基米德性质8
　　1.15　能用有限小数表示的有理数9
　　1.16　用有限小数逼近实数9
　　1.17　用无限小数表示实数10
　　1.18　绝对值与三角不等式10
　　1.19　柯西施瓦茨不等式11
　　1.20　正负无穷和扩充的实数系R*11
　　1.21　复数12
　　1.22　复数的几何表示14
　　1.23　虚数单位14
　　1.24　复数的绝对值15
　　1.25　复数排序的不可能性15
　　1.26　复指数15
　　1.27　复指数的进一步性质16
　　1.28　复数的辐角17
　　1.29　复数的整数幂和方根17
　　1.30　复对数18
　　1.31　复幂19
　　1.32　复正弦和复余弦19
　　1.33　无穷远点与扩充的复平面C*20
　　练习20
　　参考文献25
第2章　集合论的一些基本概念26
　　2.1　引言26
　　2.2　记号26
　　2.3　序偶27
　　2.4　两个集合的笛卡儿积27
　　2.5　关系与函数27
　　2.6　关于函数的进一步的术语28
　　2.7　1-1函数及其反函数29
　　2.8　复合函数30
　　2.9　序列30
　　2.10　相似(对等)集合31
　　2.11　有限集与无限集31
　　2.12　可数集与不可数集31
　　2.13　实数系的不可数性32
　　2.14　集合代数33
　　2.15　可数集的可数族34
　　练习35
　　参考文献37
第3章　点集拓扑初步38
　　3.1　引言38
　　3.2　欧氏空间Rn38
　　3.3　Rn中的开球与开集39
　　3.4　R1中开集的结构41
　　3.5　闭集42
　　3.6　附贴点与聚点42
　　3.7　闭集与附贴点43
　　3.8　波尔查诺魏尔斯特拉斯定理43
　　3.9　康托尔交定理44
　　3.10　林德勒夫覆盖定理45
　　3.11　海涅博雷尔覆盖定理46
　　3.12　Rn中的紧性47
　　3.13　度量空间48
　　3.14　度量空间中的点集拓扑49
　　3.15　度量空间的紧子集51
　　3.16　集合的边界52
　　练习52
　　参考文献55
第4章　极限与连续性56
　　4.1　引言56
　　4.2　度量空间中的收敛序列56
　　4.3　柯西序列58
　　4.4　完备度量空间59
　　4.5　函数的极限59
　　4.6　复值函数的极限61
　　4.7　向量值函数的极限61
　　4.8　连续函数62
　　4.9　复合函数的连续性63
　　4.10　连续复值函数和连续向量值函数64
　　4.11　连续函数的例子64
　　4.12　连续性与开集或闭集的逆象65
　　4.13　紧集上的连续函数66
　　4.14　拓扑映射（同胚）67
　　4.15　波尔查诺定理68
　　4.16　连通性68
　　4.17　度量空间的分支70
　　4.18　弧连通性70
　　4.19　一致连续性72
　　4.20　一致连续性与紧集73
　　4.21　压缩的不动点定理74
　　4.22　实值函数的间断点74
　　4.23　单调函数76
　　练习77
　　参考文献83
第5章　导数84
　　5.1　引言84
　　5.2　导数的定义84
　　5.3　导数与连续性84
　　5.4　导数代数85
　　5.5　链式法则86
　　5.6　单侧导数和无穷导数86
　　5.7　具有非零导数的函数87
　　5.8　零导数与局部极值87
　　5.9　罗尔定理88
　　5.10　微分中值定理88
　　5.11　导函数的介值定理90
　　5.12　带余项的泰勒公式90
　　5.13　向量值函数的导数92
　　5.14　偏导数92
　　5.15　复变函数的微分93
　　5.16　柯西黎曼方程94
　　练习97
　　参考文献101
第6章　有界变差函数与可求长曲线102
　　6.1　引言102
　　6.2　单调函数的性质102
　　6.3　有界变差函数102
　　6.4　全变差104
　　6.5　全变差的可加性105
　　6.6　在［a，x］上作为x的函数的全变差105
　　6.7　有界变差函数表示为递增函数之差106
　　6.8　有界变差连续函数106
　　6.9　曲线与路107
　　6.10　可求长的路与弧长107
　　6.11　弧长的可加性及连续性性质109
　　6.12　路的等价性与参数变换109
　　练习110
　　参考文献112
第7章　黎曼斯蒂尔切斯积分113
　　7.1　引言113
　　7.2　记号114
　　7.3　黎曼斯蒂尔切斯积分的定义114
　　7.4　线性性质115
　　7.5　分部积分法116
　　7.6　黎曼斯蒂尔切斯积分中的变量替换117
　　7.7　化为黎曼积分118
　　7.8　阶梯函数作为积分函数11