数学所讲座 2019

中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养. 《数学所讲座2019》的文章系根据2019 年数学所讲座的8 个报告中的7 个报告，按报告的时间顺序排序. 具体内容包括：Hecke 代数简史, Fourier 与Fourier 分析, 高维黎曼问题, 丢番图问题、算术几何与凸几何, 有限复叠与*面的映射类群,全正性、丛变异和泊松结构, 纳维-斯托克斯方程的研究——成就与挑战等.

目录
前言
1 漫谈Hecke 代数的范畴化 单芃
1.1 Iwahori-Hecke 代数 1
1.1.1 Coxeter 群 1
1.1.2 Iwahori-Hecke 代数的定义 2
1.1.3 卷积代数 2
1.1.4 典范基 5
1.1.5 范畴化 6
1.2 Hecke 代数与旗流形上的斜截层 7
1.2.1 Grothendieck 层与函数对应 7
1.2.2 旗流形上的导出范畴 8
1.2.3 斜截层范畴 10
1.2.4 范畴O与局部化理论 11
1.2.5 意义与推广 14
1.3 Hecke 代数与Soergel双模 14
1.3.1 Soergel双模 14
1.3.2 Soergel双模的几何背景 16
1.3.3 Elias-Williamson 的证明 17
1.3.4 意义 17
1.4 Hecke代数与图范畴 18
参考文献 19
2 Fourier 与 Fourier 分析 范爱华
2.1 引言 20
2.2 谁是 Fourier? 20
2.2.1 Fourier 简介 20
2.2.2 拿破仑与法国大革命 22
2.2.3 谁是 Fourier？ 23
2.2.4 考古学家: 埃及行 24
2.2.5 政治家 Fourier: 两任省长 26
2.2.6 物理学家 Fourier: 热传导方程和温室效应 27
2.2.7 数学家 Fourier: Fourier 级数与 Fourier 变换 28
2.2.8 Fourier 的前辈: Bernoulli， Euler， d’Alembert， Lagrange 29
2.2.9 被遗忘的 Fourier: 遗忘与重生 32
2.2.10 纯数学与应用数学之争: 为民服务还是为了人类精神之荣耀？ 33
2.3 Fourier 的贡献 33
2.3.1 《热的解析理论》 33
2.3.2 Fourier 方法: 无限长方棱柱体内热平衡态 33
2.3.3 热亦数控 (Et ignem regunt numeri): 科学院大奖 35
2.3.4 《热的解析理论》的前言 36
2.4 Fourier 级数的收敛性: Dirichlet 定理 37
2.4.1 Dirichlet 37
2.4.2 Dirichlet 定理 38
2.4.3 Fourier 级数的收敛性研究 39
2.4.4 正交级数的收敛性 40
2.4.5 数论与 Dirichlet 级数 41
2.5 三角级数表示的函数: Riemann 求和法 42
2.5.1 Riemann 和他的任教资格论文 42
2.5.2 Riemann 理论 42
2.5.3 Riemann 积分 43
2.5.4 Riemann 之后某些特殊三角级数和函数的研究 46
2.6 三角级数的唯一性问题: Cantor 的集合论 49
2.6.1 Cantor 的唯一性定理: 集合论的**篇文章 49
2.6.2 唯一性集和多重性集的研究 50
2.6.3 Rajchman 测度和 Riesz 乘积测度 53
2.7 Lebesgue 积分和三角级数 56
2.7.1 Lebesgue 积分 56
2.7.2 Lebesgue 积分应用于三角级数: Fourier 分析的新起点 56
2.8 20 世纪法国的 Fourier 分析 58
2.9 结束语 61
参考文献 62
3 高维黎曼问题 陈恕行
3.1 从一维黎曼问题说起 65
3.2 高维黎曼问题的困难 67
3.3 简化方程组的高维黎曼问题 70
3.4 高维黎曼初边值问题 74
3.5 结语 76
参考文献 77
4 丢番图问题、算术几何与凸几何 陈华一
4.1 引言 80
4.2 紧黎曼*面的代数性质 90
4.2.1 全纯函数芽 91
4.2.2 全纯函数芽的赋值 92
4.2.3 局部环层空间 93
4.2.4 黎曼*面 96
4.2.5 亚纯函数 101
4.2.6 除子 105
4.3 有理函数域的算术 107
4.3.1 绝对值 108
4.3.2 赋范线性空间 113
4.3.3 有理函数域上的绝对值 132
4.3.4 有理函数域上的算术向量丛 135
4.3.5 注记 143
4.4 绝对值的扩张 147
4.4.1 赋超范 Banach 空间的分析 147
4.4.2 完备绝对值与范数的扩张 159
4.4.3 一般绝对值的扩张 168
4.4.4 代数函数域的算术 171
4.5 代数数域的几何 179
4.5.1 代数数域上的算术向量丛 180
4.5.2 数域的 Riemann-Roch 定理 184
4.5.3 Harder-Narasimhan 理论 189
4.6 算术射影簇 200
4.6.1 线丛上的度量 200
4.6.2 度量族 204
4.6.3 Arakelov 高度 206
4.6.4 射影概形的高度 208
4.6.5 Hilbert-Samuel 定理 212
4.7 代数几何和算术几何中的凸分析方法 214
4.7.1 半群代数的组合 214
4.7.2 环面簇 217
4.7.3 Newton-Okounkov 凸体 220
4.7.4 算术分次线性系的凹变换 226
4.8 随机耦合与测度传输在算术几何中的应用 231
4.8.1 随机变量的耦合与 Hodge 指标定理 232
4.8.2 测度传输与相对 Brunn-Minkowski 不等式 235
4.8.3 测度传输与相对等周不等式 235
A 附录 238
A.1 Caylay-Hamilton 定理 238
A.2 整元 240
A.3 域的代数扩张 243
A.4 域上的可分有限代数 247
A.5 Galois 扩张 258
参考文献 259
5 有限复叠与*面的映射类群 刘毅
5.1 *面的映射类 268
5.2 Nielsen-Thurston 分类 270
5.3 几何化之后的三维拓扑 273
5.4 映射类与映射环 275
5.5 *面映射类的有限复叠提升 276
参考文献 278
6 全正性、丛变异和泊松结构 路江华
6.1 引言 280
6.2 全正性和丛变异 281
6.2.1 参数化和判别准则 281
6.2.2 正结构与全正性 283
6.2.3 环面坐标图的丛变异 284
6.3 Lusztig 全正性和 BFZ 丛结构 286
6.3.1 G 上的 Lusztig 全正结构 286
6.3.2 双 Bruhat 胞腔上的 BFZ 上丛结构 288
6.4 G 上的标准可乘泊松结构 291
6.4.1 泊松结构和 T-泊松坐标图 291
6.4.2 泊松李群 (G， πst) 292
参考文献 294
7 纳维-斯托克斯方程的研究——成就与挑战 李家春
7.1 关于题目 297
7.2 流体力学的两朵“乌云” 297
7.3 纳维-斯托克斯方程的精确解和渐近解 298
7.4 流动稳定性理论 300
7.5 走近湍流 301
结束语 303
参考文献 303