物理中的 Mobius 反演 陈难先院士著 物理学之美数学之美逻辑之美

本书是陈难先院士对于其科研生涯中主要的贡献——默比乌斯反演的应用的总结。但本书并没有局限于纯粹学术专著的风格，而是尽量写得通俗易懂，以激发读者对于这一美妙方法的兴趣。
20世纪80 年代，人类进入信息时代，科学技术中的各种逆问题蓬勃兴起。作者运用默比乌斯反演方法使问题的解出现了新的面貌。在Nature 杂志引发了整版评论。物理界大都熟悉傅里叶变换和拉普拉斯变换之类的积分变换，但对默比乌斯变换与默比乌斯反演之类的级数变换了解甚少。本书就是要从物理的角度去感受默比乌斯反演方法特有的趣味和生命力。本书乍一看都在强调默比乌斯反演公式的微妙与多样，实际上是在强调许多看来很麻烦的物理中逆问题也有十分轻松美妙的一面，诸如玻色–费米体系逆问题、晶格–界面体系逆问题、双正交调制体系等。希望读者可以领略到物理模型之妙和数学逻辑之美，以及它们之间性相近习相远的趣味。

陈难先
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陈难先，中国科学院院士、清华大学教授，曾任清华大学学术委员会副主任，国家863计划监督委员会常务副主任。1962年毕业于北京大学物理系，1962年8月—1979年3月任北京钢铁学院助教，1979年3月—1980年8月任北京钢铁学院讲师，1984年获美国宾夕法尼亚大学电气工程与科学博士学位，1986年5月—1986年10月任北京钢铁学院讲师、教授，1993年任北京科技大学副校长，1994年4月—2000年5月任北京科技大学副校长、教授，1997年当选为中国科学院院士，2000年5月任清华大学教授。主要从事物理中的逆问题、材料物理中第一原理原子相互作用势研究及应用、稀土功能材料中的原子级模拟计算研究。

本书以轻松的讲述，展开默比乌斯反演在物理学中的应用，在彰显数论工具强大潜力的同时，启发读者如何建立创新性思维。本书既展示了本书作者作为中科院院士的杰出成就，也表达出了他对于物理和数学之间的联系和区别的深刻洞见。

第一章Mobius 级数反演
1.1 Mobius 级数反演缘起
1.2 Chebyshev 反演公式
1.3 插曲: 原子链结合逆问题
1.4 Cesaro 反演定理
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附录 1.1 光学调制深度问题
附录 1.2 Mobius 函数与超对称量子场论
第二章 数论中的 Mobius 反演
2.1 数论函数的基本概念
2.2 Dirichlet 卷积和可逆函数
2.3 可逆函数与反演公式
2.4 可逆函数群中的积性函数子群
2.5 Mobius 函数 μ(n) 与 Mobius 反演公式
2.6 Euler 函数和 Euler 定理
2.7 非积性函数简介
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附录 2.1 Euler 定理与公钥密码
附录 2.2 周期函数的非正交展开与双正交调制
附录 2.3 算术 Fourier 变换 AFT 的基本概念
附录 2.4 Bruns 的 AFT 基本定理
附录 2.5 Ramanujan 求和与均匀取样 AFT
第三章 Bose 体系逆问题
3.1 黑体辐射逆问题
3.2 晶格比热逆问题
3.3 晶格比热逆问题的 Mobius 反演解
3.4 解的病态与病趣
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附录 3.1 黎曼 ζ 函数的主值
附录 3.2 Montroll 的 Fourier 变换方法
第四章 Fermi 体系逆问题
4.1 第二类数论函数
4.2 Dirichlet 加性卷积和可逆函数
4.3 第二类 Mobius 级数反演和 Fourier 退卷积
4.4 Fermi 体系逆问题
4.5 关于本征半导体的一个逆问题
4.6 Chapman-Enskog 展开的收敛性问题
统计分布的变化
4.8 加性 Cesaro 反演公式
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附录 4.1 电介质弛豫时间谱研究
附录 4.2 表面吸附的 Langmuir 积分方程
第五章 晶体结合逆问题
5.1 CGE 方法
5.2 二维方格与 Mobius 反演
5.3 任意三维晶格反演的 Mobius 方法
5.4 固溶体中的原子势与长程序
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附录 5.1 几类常见晶体结构的反演系数表
附录 5.2 关于稀土与锕系元素的计算
第六章 界面黏结能逆问题
6.1 界面 Mobius 反演方法
6.2 金属/Al2O3 界面共格双晶反演方法
6.3 界面共格双晶反演势的若干应用
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第七章 偏序集上的 Mobius 反演
7.1 全序集的定义和 ζ 关联矩阵表示
7.2 偏序集的定义和 ζ 矩阵表示
7.3 局部有限偏序集上的 Mobius 函数
7.4 局部有限偏序集上的 Mobius 反演
7.5 晶格反演与局部有限偏序集
7.6 界面反演与局部有限偏序集
7.7 团簇展开方法
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第八章 为了忘却的纪念
8.1 对偶关系是反演公式的灵魂
8.2 无知与偶然
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附录 8.1 Mobius 其人其事
参考文献