从一加一到现代数论

我们每天都使用加法，然而，我们当中又有多少人愿意停下来真正思考这一数学活动的重大而显著的结果？本书以加法为基础，以通俗易懂和吸引人的视角展现了数和数论的特性，以及如何应用漂亮的数字特性来解决数学问题。数学家阿夫纳·阿什、罗伯特·格罗斯探索了加法的最基本特征，平方和以及其他幂的加法，直至无穷级数、模形式等当前数学研究的前沿问题.

阿什和格罗斯为各种背景的数学爱好者量身定制了简洁而引人入胜的科学研究. 应用大学代数，本书的第一部分探讨了这样的问题：所有正数都可以写成四个完全平方数的和吗？第二部分结合了微积分并考察了无穷级数——只能由极限概念定义的，如的无穷和. 第三部分借助一些群论和几何知识，通过讨论模形式-具有增长性和变换属性的上半复平面上的解析函数, 将前面两个部分紧密地结合在一起，阿什和格罗斯揭示了模形式在现代数论中是多么不可或缺，例如它们在费马大定理的证明中的应用。

本书适合于数学初学者以及大学数学专业的学生，也可作为对数字着迷的人深入研究数学的参考用书。

[美]阿夫纳·阿什（Avner Ash）

美国波士顿学院数学教授。

[美]罗伯特·格罗斯（Robert Gross）

美国波士顿学院数学副教授。他们两个合著了《椭圆故事集：曲线、计算和数字理论》和《无畏的对称：暴露隐藏的数字模式》。

导言：本书讲的是什么？ 1

第一部分 有限和

第二部分 第 1章 引 言 11

第 2章 两个平方数的和 21

第 3章 三个和四个平方数的和 29

第 4章 高次幂的和：华林问题 33

第 5章 简单和 37

第 6章 幂和，代数的大量使用 45

第三部分 无穷和

第四部分 第 7章 无穷级数 67

第 8章 特征表 88

第 9章 Ｚｅｔａ和伯努利 94

第 10章 方法计数 102

第三部分 模形式及其应用

第 11章 上半平面 117

第 12章 模形式 134

第 13章 有多少种模形式？ 145

第 14章 同余群 163

第 15章 回顾分拆与平方数的和 169

第 16章 模形式的更多理论 183

第 17章 更多与模形式有关的事：应用 194

参考文献 204

致 谢 207