马同学图解微积分（上）

本书通过图解的形式，在逻辑上穿针引线，讲解了大学公共课"高等数学（微积分）”中与单变量函数相关知识点，也就是经典教材《高等数学》上册中的绝大多数知识点。这些知识点是相关专业的在校、考研学生必须掌握的，也是相关从业人员深造所应必备的。本书围绕着"线性相似”，讲解了极限、导数、微分、中值定理、洛必达法则、泰勒公式、极值、最值、定积分、牛顿莱布尼茨公式、微分方程求解等知识，逻辑上层层递进，再辅以精心挑选的各种例题、生活案例等，大大降低了学习门槛。

马同学是专业的数学知识内容创作团队，从2016年起就在公众号上进行数学内容创作，作品累计数千万人次观看，知乎认证数学话题优秀答主，收获四十余万赞。

?? 特色之一，运用迭代的思维。我们相信好的书不是写出来的，而是改出来的，比如《红楼梦》就曾经“披阅十载，增删五次”。所以，本书中的内容一开始就在“马同学”网站、“马同学图解数学”微信公众号以及知乎“马同学”、B 站“马同学图解数学”这些渠道上发布。撰写本书时，其中免费的内容已经有很多人阅读过；而完整的付费版本也已经售卖了上万份。在这个过程中，我们收到了大量的肯定及批评建议，根据这些或正面、或负面的反馈，我们进行了数次大的改版，本书最终才得以付梓印刷。

?? 特色之二，尽量详细。因为本书针对的是自学者，我们希望读者可以在没有老师讲解的情况下读懂内容，所以本书中涉及的知识点、证明过程、习题讲解，我们都尽量做到不跳步骤、阐明逻辑、交叉引用。

?? 特色之三，海量图解。本书总共有三百多页，其中包含了五百多幅精心制作的图解图片。这些图片的制作十分用心，其中很多幅图片的制作时间都在半天以上，真正起到了“图解”的应有之义。

?? 特色之四，讲解视频。我们还为本书中的一些难以理解的知识点精心制作了讲解视频，可在对应的章节扫码观看，也可直接到B 站“马同学图解数学”的“微积分”合集中查看，并且视频还在不断迭代、增加中。根据大家的反馈，这些视频提供了不一样的学习体验，是对本书内容很好的补充。

?? 特色之五，逻辑清晰而完整。举一个例子，本书是以“线性近似”为线索的，讲到“曲率”的时候也一以贯之采用了和其他教材非常不一样的视角来引入，相信大家读到时能感受到逻辑的流动。

创作严肃但又通俗易懂的数学书，是马同学品牌创立的初衷。“月缺不改光，剑折不改刚”，七年的筚路蓝缕，本书是我们交出的第二份答卷，第一份是《马同学图解线性代数》。

2016 年，我们成立了成都十年灯教育科技有限公司，公司名字取意为“桃李春风一杯酒，寒窗苦读十年灯”，希望可以帮助到更多的莘莘学子。

莘莘学子需要什么样的帮助呢？和中学不一样，学子进入大学之后，在数学学习上没有那么多补习班可报，大学老师也不会耳提面命，学习真正成为自己的事情；目标也更加多样化，考试分数不再是唯一的目标，获得深造机会、找到称心的工作等也是重要的学习目标。在这样的背景下，学子们希望找到可以自学的教材。

市面上没有可以自学的教材吗？肯定有。毕竟本书讲解的是300 年前就有的数学内容，这么长的时间足够产生各种经典教材，这些教材像耸立的灯塔一样照亮了人们数学朝圣之旅的前进道路。那么，本书提供了什么价值呢？简单来说，就是继承经典教材的内容，借助现代的段和理念，更好地满足如今学子们的学习需要。

经典教材肯定不是一蹴而就完成的。从蒙昧时代开始，各种数学概念经过毕达哥拉斯、阿基米德、笛卡儿、牛顿、欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯、黎曼等数学大家的雕琢，又在各位教育大师的手中条分缕析，最终被编撰成一本本经典之作。这本身就是一场薪火相传的接力赛，一个没有终点的无限游戏。有志者都可以踏上这条赛道，其中就有我们。所以说，本书是站在巨人的肩膀上，以过往的经典教材的内容为基础，加入自己的特色而形成的。

?? 特色之一，运用迭代的思维。我们相信好的书不是写出来的，而是改出来的，比如《红楼梦》就曾经“披阅十载，增删五次”。所以，本书中的内容一开始就在“马同学”网站、“马同学图解数学”微信公众号以及知乎“马同学”、B 站“马同学图解数学”这些渠道上发布。撰写本书时，其中免费的内容已经有很多人阅读过；而完整的付费版本也已经售卖了上万份。在这个过程中，我们收到了大量的肯定及批评建议，根据这些或正面、或负面的反馈，我们进行了数次大的改版，本书最终才得以付梓印刷。

?? 特色之二，尽量详细。因为本书针对的是自学者，我们希望读者可以在没有老师讲解的情况下读懂内容，所以本书中涉及的知识点、证明过程、习题讲解，我们都尽量做到不跳步骤、阐明逻辑、交叉引用。

?? 特色之三，海量图解。本书总共有三百多页，其中包含了五百多幅精心制作的图解图片。这些图片的制作十分用心，其中很多幅图片的制作时间都在半天以上，真正起到了“图解”的应有之义。

?? 特色之四，讲解视频。我们还为本书中的一些难以理解的知识点精心制作了讲解视频，可在对应的章节扫码观看，也可直接到B 站“马同学图解数学”的“微积分”合集中查看，并且视频还在不断迭代、增加中。根据大家的反馈，这些视频提供了不一样的学习体验，是对本书内容很好的补充。

?? 特色之五，逻辑清晰而完整。举一个例子，本书是以“线性近似”为线索的，讲到“曲率”的时候也一以贯之采用了和其他教材非常不一样的视角来引入，相信大家读到时能感受到逻辑的流动。

?? 特色之六，生活实例。比如本书讲解中值定理时，我们通过击剑运动、区间测速等来类比，这样可使大家更直观地理解知识点。

诸如此类，难以一一列举，希望本书能成为大家学习路上的良师益友。

读者对象

本书不是一本数学科普书，而是一本硬核的数学教材，所以它是为脚踏实地、希望精进自己的人准备的。

根据我们的调查，本书在线内容的读者组成很广泛：在校大学生、考研人士、人工智能方向的学习者、图形图像工程师、量化交易师，以及其他希望提升数学能力的学习者等，所以我们相信本书的服务人群也是与此大体相似的。

第1章 引言 1

1.1 开普勒第二定律 1

1.2 线性近似的思想 2

1.3 古典微积分 3

1.4 古典微积分的问题 4

第2章 函数与极限 6

2.1 柯西的数列极限 6

2.1.1 用数列来表示矩形逼近曲边梯形这一过程 6

2.1.2 柯西的数列极限 9

2.1.3 无穷大符号 10

2.1.4 阿基里斯悖论 10

2.1.5 古典微积分问题的解决 12

2.2 魏尔斯特拉斯的数列极限 13

2.2.1 魏尔斯特拉斯的数列极限介绍 14

2.2.2 数列极限的另外一种定义 20

2.3 数列极限的性质 22

2.3.1 数列极限的唯一性 23

2.3.2 收敛数列的有界性 24

2.3.3 收敛数列的保号性 26

2.3.4 收敛数列的子数列 27

2.4 趋于无穷的函数极限 28

2.4.1 趋于无穷、正无穷、负无穷的函数极限 28

2.4.2 无穷极限存在的充要条件 34

2.5 一般的函数极限 35

2.5.1 飞矢不动 35

2.5.2 邻域、去心邻域以及一般的函数极限 37

2.5.3 单侧极限 41

2.5.4 极限存在的充要条件 43

2.5.5 小结 45

2.6 无穷小 45

2.6.1 极限和局部 45

2.6.2 无穷小的定义和意义 47

2.6.3 极限与无穷小 49

2.7 无穷大 50

2.7.1 正无穷大、负无穷大和无穷大的定义 50

2.7.2 无穷小与无穷大 52

2.8 极限的性质 54

2.8.1 极限的唯一性 55

2.8.2 极限的局部有界性 55

2.8.3 极限的局部保号性 56

2.9 海涅定理 59

2.9.1 海涅定理的几何意义 60

2.9.2 xn ??= x0 61

2.9.3 海涅定理的例题 62

2.10 极限的运算法则 64

2.10.1 无穷小的运算法则 64

2.10.2 极限的各种运算法则 66

2.10.3 抛物线下的面积 71

2.11 夹逼定理 72

2.12 复合函数的极限 78

2.13 渐近线 84

2.13.1 水平渐近线 84

2.13.2 铅直渐近线 85

2.13.3 斜渐近线 86

2.14 单调有界数列必有极限 89

2.14.1 单调数列和单调函数 89

2.14.2 单调有界准则 90

2.14.3 欧拉数e 90

2.14.4 欧拉数e 的现实意义 93

2.14.5 自然底数 94

2.14.6 欧拉数e 的例题 95

2.15 无穷小的比较 95

2.15.1 具体的无穷小的比较 95

2.15.2 等价无穷小 96

2.16 函数的连续性 99

2.16.1 连续的定义 99

2.16.2 左连续、右连续 102

2.16.3 连续函数 102

2.16.4 点连续 105

2.17 函数的间断点 106

2.18 连续函数的运算与初等函数的连续性 109

2.18.1 和、差、积、商的连续性 109

2.18.2 反函数的连续性 110

2.18.3 复合函数的连续性 111

2.18.4 初等函数的连续性 113

2.18.5 极限求解的例题 113

2.19 闭区间上连续函数的性质 114

2.19.1 最值和极值 114

2.19.2 有界性与最大值最小值定理 116

2.19.3 零点定理 117

2.19.4 介值定理 117

2.19.5 通过极限求出圆的面积 119

第3章 微分与导数 120

3.1 微分与线性近似 120

3.2 通过导数求出微分 123

3.2.1 微分的定义 123

3.2.2 导数的定义 128

3.2.3 左导数、右导数 129

3.2.4 连续与可导 131

3.2.5 微分与切线 133

3.2.6 割线与切线 133

3.2.7 圆周率等于4 134

3.2.8 微分与导数的符号 136

3.3 常用的一些导函数 136

3.4 函数和、差、积、商的求导法则 140

3.5 复合函数的导函数 142

3.5.1 链式法则 142

3.5.2 关于链式法则的常见误解 145

3.6 反函数的导函数 145

3.7 隐函数的导函数 149

3.7.1 函数、显函数和隐函数 149

3.7.2 局部的隐函数 151

3.7.3 对数求导法 153

3.8 参数方程的导函数与相关变化率 154

3.8.1 参数方程的导函数 154

3.8.2 相关变化率 156

3.9 高阶导数 157

3.10 小结 159

第4章 微分中值定理与导数的应用 161

4.1 微分中值定理 161

4.1.1 费马引理和驻点 161

4.1.2 罗尔中值定理 163

4.1.3 拉格朗日中值定理 166

4.1.4 柯西中值定理 170

4.1.5 微分中值定理的例题 174

4.2 洛必达法则 174

4.2.1 未定式 176

4.2.2 洛必达法则的较弱形式和加强形式 177

4.2.3 洛必达法则的更多形式 180

4.2.4 洛必达法则的局限性 182

4.3 泰勒公式 182

4.3.1 泰勒定理和皮亚诺余项 183

4.3.2 为什么可以通过多项式来逼近函数f(x) 187

4.3.3 泰勒公式的系数和余项 189

4.3.4 麦克劳林公式 191

4.3.5 皮亚诺余项和拉格朗日余项 192

4.3.6 泰勒公式的例题 193

4.4 函数的单调性与凹凸性 194

4.4.1 导数与函数的单调性 194

4.4.2 函数的凹凸性 197

4.4.3 拐点 200

4.5 函数的极值与最值 203

4.5.1 极值的充分条件 203

4.5.2 闭区间上函数的最值 207

4.6 曲率 208

4.6.1 圆的曲率 209

4.6.2 曲线的曲率 209

第5章 不定积分 217

5.1 不定积分的概念与性质 217

5.1.1 原函数 217

5.1.2 达布定理 218

5.1.3 不定积分的定义 219

5.1.4 基本积分表 220

5.1.5 不定积分的性质 221

5.2 不定积分的换元法 222

5.2.1 不定积分的第一类换元法 223

5.2.2 不定积分的第二类换元法 225

5.3 分部积分法和有理函数的积分 227

5.3.1 分部积分法 227

5.3.2 有理函数的积分 229

第6章 定积分 232

6.1 定积分与曲边梯形 232

6.1.1 定积分的定义 232

6.1.2 曲边梯形及其面积 237

6.2 定积分的可积条件和性质 239

6.2.1 可积的充分条件 239

6.2.2 定积分的补充规定 241

6.2.3 定积分的齐次性与可加性 242

6.2.4 定积分的性质 243

6.3 微积分基本定理 247

6.3.1 积分上限函数 247

6.3.2 微积分第一基本定理 249

6.3.3 微积分第二基本定理 250

6.4 定积分的换元法和分部积分法 253

6.4.1 定积分的换元法 253

6.4.2 定积分的分部积分法 256

6.5 反常积分 256

6.5.1 无穷限的反常积分 256

6.5.2 无界函数的反常积分 261

第7章 定积分的应用 265

7.1 定积分与曲线长度 265

7.1.1 光滑曲线及其长度 265

7.1.2 圆的曲率 269

7.1.3 曲线的曲率 270

7.2 定积分与面积 271

7.2.1 曲线之间的面积 271

7.2.2 极坐标系下的面积 277

7.3 表面积与体积 279

7.3.1 圆锥面的表面积 279

7.3.2 圆台面的表面积 280

7.3.3 旋转面的表面积 281

7.3.4 旋转体的体积 285

7.3.5 截面积已知的立体图形的体积 287

7.4 定积分在物理中的应用 288

7.4.1 变力沿直线做功 288

7.4.2 水压力 290

7.4.3 力矩与质心 291

7.4.4 万有引力 293

第8章 微分方程 296

8.1 微分方程的基本概念 296

8.1.1 微分方程的定义 296

8.1.2 解、通解、特解和初值条件 300

8.2 可分离变量的微分方程 300

8.2.1 可分离变量的微分方程的定义 301

8.2.2 可分离变量的微分方程的求解方法 301

8.3 齐次方程 303

8.4 一阶线性微分方程 304

8.4.1 一阶线性微分方程的求解方法 304

8.4.2 伯努利微分方程 306

8.5 可降阶的高阶微分方程 308

8.5.1 y(n) = f(x) 型的微分方程 308

8.5.2 y= f(x, y) 型的微分方程 309

8.5.3 y= f(y, y) 型的微分方程 309

8.6 高阶线性微分方程 309

8.6.1 高阶线性微分方程的定义 310

8.6.2 线性方程组解的结构 310

8.6.3 线性微分方程解的结构 311

8.6.4 常数变易法 313

8.7 常系数线性微分方程 315

8.7.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解

8.7.2 f(x) = eλxPm(x) 时的常系数非齐次线性微分方程