数学与艺术

这是一部由数学与艺术融合而成的古今文化史。

艺术是感性的吗？灵感中却闪耀着科学之光；
科学是理性的吗？秩序中却创造出震撼的美；
万事万物，浅看背道而驰，深研融会贯通。
数学与艺术的关系，比我们想象的要紧密得多。

数学不仅是一门精确的科学，也是一种美的表达。数学家们通过公式、定理、证明，创造了许多优美的结构和模式，展现了数学的魅力和美感；艺术家们也受到数学原理的启发，运用几何、比例、透视、对称，创作了无数精彩作品，体现了艺术的规律和创新。古希腊建筑的比例、中国八卦的二进制、音乐上的五度相生律、文艺复兴时的透视法、现代派画家运用的拓扑学……无不是数艺交融关系的体现。

爱因斯坦曾说 “真正的科学和真正的艺术需要同样的思维过程”。数学与艺术之所以密不可分，因为它们追求的是同一个目标：理解眼前能看到的这个世界和只能靠思维来认识的那些抽象事物。
只懂得数学或只懂得艺术，对世界的理解都是片面的。所以，我们需要《数学与艺术》这样的著作来丰富我们的认知。

琳恩·盖姆韦尔 （Lynn Gamwell）

生于1943年，现年80岁，以其关于艺术史、数学史、科学史系的研究而闻名。

她拥有伊利诺伊大学芝加哥分校的学士学位、克莱蒙特研究生院的艺术硕士学位和加州大学洛杉矶分校的博士学位。现任教于纽约视觉艺术学院，并为伦敦弗洛伊德博物馆、纽约科学院等机构策划展览。

作者出版过多部融汇科学与艺术的相关著作，策划全球知名展览，而这本书可以说是作者专研方向集大成作。

前言
不要轻视符号！……如果没有符号，我们几乎无法进行概念式思考。 所以，把同样的符号应用于不同但类似的事物，我们实际上表示的便不再 是个体，而是共性：概念。
——戈特洛布·弗雷格，《概念表示法的科学理由》，1882年

非专业读者在阅读数学书籍时常常感到失落，因为其中的奥秘往往都是以外行难以理解的专业语言写成。所以，我写本书的目的，就是要以非数学语言，结合清晰简明的符号和图形，来描述推动数学前进的思想（如数、无限、几何和模式）；探讨数学符号、图表、规律——本质上是抽象概念的形象可视化——在人类历史进程中如何启发了艺术家，如何因其抽象性反而成了精确思维的通用语言，让世界各地的建筑师利用它们设计了高大宏伟的城市。
当石器时代的早期人类在岩石上凿出图案时，数学实践便开始了，并随着人类在天地间对数与形的探索而得以持续发展（图0-1）。从古至今，贯穿这一历史的一条线索就是数学哲学与数学实践的差别。数学哲学是柏拉图这类人物的研究领域，他们会问：某种知识是什么？这属于认识论问题。也可能问：什么是数？数以何种意义存在？这属于形而上学问题。数学实践则是欧几里得这类“实际研究型数学家”的研究领域，他们会问：三角形的内角和等于 180°吗？这属于几何问题。也可能问：质数是否有规律？这属于算术问题。偶尔也有同时涉足两大领域的人物，如启蒙运动时期的学者戈特弗里德·莱布尼茨，就曾以柏拉图的传统风格撰写过一部有关形而上学的书籍《单子论》（1714），还发明了二进制记数法。
古代数学依赖于简单的抽象和概括，很容易融入人们的思维模式之中。但在过去的几个世纪中，随着数学实践日趋专业化，公众越来越不容易理解数学的细节了；因此，我在这部书中所描述的数学思想对文化的冲击，大多属于哲学性质。然而，实际的数学研究会通过间接的形式影响我们。例如在莱布尼茨的时代，二进制记数法是玄奥的专业概念，只有不多的学者知晓，但到了今天，任何受过教育的人都对二进制记数法在计算机中的应用耳熟能详。当数学实践因应用而广为人知时，数学概念便会进入艺术家的工作室，给他们带来启示。

0-1.敦煌星图（细部），公元 649—684年。纸上水墨画，24.4厘米×20厘米。© 大 英 图 书 馆 理 事 会，Or.8210/S.3326R.2.(8)。这份天象图记录了北极附近的可见天空。大熊座位于图下方，其中最亮的七颗星组成了北斗七星。这幅星图出自中国唐代的一本星图册，是世界上已知最早的星图册，共记录了1339颗恒星，涵盖了北半球能够看到的全部天空。

第二条贯穿数学史的线索，是对自然界的理性解释（认为它按照决定性的因果法则运转）同对此类模型及相关数学的反对（认为它们去人性化）之间的矛盾。在古代，人们可以在希腊理性主义哲学家德谟克利特与柏拉图之间的争论中感觉到这种矛盾：前者认为无生命的原子组成了机械的宇宙，而后者则认为宇宙有生命、有意志。到了近代，启蒙运动对理性的信赖，推动了微积分的发明与伊曼努尔·康德的德国唯心主义的发展，但也激起了康德哲学继承人的反抗，如第二代唯心主义哲学家弗里德里希·谢林和黑格尔，因为他们更加信任感受与直觉。
在本书第一章中，我将对数学与艺术之间的关系进行综述，会从人类史前一直讲到理性、客观性、可普遍化的知识达到最高峰的启蒙时期。我将集中关注以柏拉图为起源的西方传统：在他看来，数字与球形这类抽象物体是独立于人类思维的存在——这个柏拉图主义观点在数学与科学的哲学与实践中产生过重要影响。我还会介绍古代与中世纪的柏拉图主义在西方的起源，包括它同古典有神论及基督教神学的宗教联系，以及在人类不断追求知识的背景下，柏拉图主义在现代世俗文化中演变出的变种。查尔斯·达尔文于1859年出版的《物种起源》，加速了西方有组织宗教的没落，以及“反形而上”学术氛围的出现。尽管数学家因为柏拉图主义长期以来与宗教教义的联系而开始对其敬而远之，但大多数从事研究工作的数学家依旧承认的一点是，现代数学起源自柏拉图的哲学思想。
柏拉图宣称存在两个世界。第一个是由苹果、柑橘这类真实物体组成的自然世界，存在于时间与空间内，人们可以通过看、听、触碰这些感性知觉认识它。第二个世界则是“理型（
Forms）”的世界，其中包括抽象物体，如数字和球形。这个世界独立于时间与空间而存在，人们通过认知、直觉或者神秘领悟了解这个世界。苹果与柑橘存在于“外在世界”当中，独立于人的思维存在，数字与球形也一样，类似地存在于一个“数学的外在世界”当中。因为数字与三角形是完美而永恒的，所以人类可以通过客观必然性和主观确定性来认识这些抽象（数学）物体。非永恒且不完美的植物和动物、大地与天空，是永恒的数字与完美的几何的具体化，给自然带来了基本的统一性。但因为自然物体只是抽象物体的不完美体现，所以人类关于自然的（科学）知识便带有与生俱来的片面性和易变性。
柏拉图进一步认为，这两个世界之外还有一个超越凡俗的神圣理性统治着一切，即“善”——一位神秘的匠神，正是他把柏拉图的理型加之于原始的混乱物质上，创造了大地与天空。柏拉图认为，善是宇宙最高目的的来源。反对柏拉图观点的是原子论者德谟克利特和门徒卢克莱修，则描述了一个运动的、物质的确定性宇宙。
卢克莱修在公元前1世纪发表了《物性论》，首先提出了原子的随机偏转一说，为自由意志（没有被征服、不受囚禁的感觉）开辟了存在的空间。但柏拉图认为，原子确实存在偶尔的偏转，可运动中的无生命原子不足以解释外在世界，因此他认为，宇宙由有感知的粒子组成，也就是所谓的单子（monads，即希腊文的“一”，其中沉浸了世界灵魂与神圣理性）。我将会重点讲述柏拉图的门徒欧几里得关于证明的公理化方法的发展（这一方法总结在他大约公元前300年的著作《几何原本》中），以及柏拉图为什么认为艺术是对自然的模仿。我还将追溯罗马帝国崩溃之后有关数学与艺术的西方经典观点发生了哪些变化，包括它们在公元4世纪和犹太-基督教神学的融合过程，以及中世纪伊斯兰教学者如何在阿拉伯译本中保存了希腊的文字资料。
我还会回顾古代亚洲数学的发展，尤其是中国的《九章算术》。这部作品成书于公元前100年之前，由佚名作者编纂整理，共包含246个数学问题，是两千多年间东方数学思想的基础教育课本，其地位与欧几里得的《几何原本》在西方的地位相当。人们通常认为，希腊数学以抽象推理为主，而中国数学就事论事；但事实并非如此，我总结了最近一些学者的意见，得出的结论是：中国数学虽然没有抽象，但有归纳，只不过中国数学家没有发展出普遍的证明法而已。
与英国学者李约瑟及之后的汉学家一样，我也认为东方数学专注于特例（抽象的范例），西方数学专注于抽象、普遍的公理化方法，而两者之间的差别就源于两个地区的古代宇宙观。无论存在的基础是被归结为某种无法检测的神秘力量，还是世界灵魂，抑或单子、原子，人们最终对现实的构想都同思考数学的方式有关。在中式思维中，自然世界由各个部分和谐、平衡地按照自然之“道”自行组合在一起，但道是无法被人理解的。道家从来都不认为存在某种能被人探索的数学世界和能被人发现的自然定律。也正因如此，在上古时代与封建王朝时代，中国数学与科学一直都未能超越基本发展阶段。而西方的创世神话则设想了一个位格神（巴比伦人的是马杜克，希伯来人的是亚伯拉罕的神，柏拉图的是匠神），正是他向混乱中注入了秩序，宣布了自然的规律。千百年来，大批西方人士一直在寻找这样的神创秩序，其中一些人则由此得到了有关自然规律的知识，如古代巴比伦天文学家发现了黄道，启蒙时代的约翰尼斯·开普勒发现了行星运动的几何模式（图0-2），艾萨克·牛顿发现了万有引力定律。
介绍完历史背景，我会把目光转向近代和当代。在第二章中，我将批驳一个广泛流传的错误观点：欧几里得的“黄金分割”（约等于 1.618）是优美比例的关键，艺术史上的伟大瑰宝（如金字塔、帕特农神庙、达·芬奇的《蒙娜丽莎》）中都应用了它。但后来，达尔文给出了确凿证据，证明人体并没有固定的形式，而是随着时间推移在不断进化。所以，许多以人体为基础的比例体系，在这之后都被废弃不用了。而当人们发现人的身体与灵魂方面有越来越多的特点，可以通过生物学、生理学和心理学的强大说明能力来解释之后，神学便只能让位于科学。这在人类信仰方面造成了颠覆性的变革，让人们不再相信那位曾在四千年间推动了西方数学发展的造物主的存在。这种翻天覆地的重新定向，促使许多人开始构想一种能适应世俗化时代的信条。

0-2. 德国天文学家约翰尼斯·开普勒所著《世界的和谐》（1619）中的太阳系几何结构示意图，出现在原书186—187页。木刻版画。音乐部，表演艺术分馆，纽约公共图书馆，阿斯特、雷诺克斯与蒂尔登基金会。1596年，开普勒提出假设，认为行星沿一个环绕着看不见的立方体、正四面体和其他规则立体形的圆形轨道运行。但发现实际观察并不符合这一假定后，他又在天空中寻找其他几何形式，最终于1609年确定了行星的轨道是椭圆形。

除部分内容外，本书第三至第十章将以现代数学和抽象艺术出现的德语文化圈为中心展开。在德国、奥地利、俄罗斯、东欧、瑞士、荷兰和斯堪的纳维亚地区，许多学者与艺术家都会说德语，都把德国唯心主义视为共同的思想传承，所以在这层意义上，他们都具有“德国特色”。
在第三章中，我将介绍启蒙主义理性（康德）与浪漫主义想象（谢林、黑格尔）之间的论战。那是一场理性与直觉的斗争，具有鲜明的德国式特色：勒内·笛卡尔区分了精神与物质，而启蒙运动的杰出哲学家康德则宣布人只能了解精神（他本人的想法），不能了解物质（比如外在世界中的月球）之后，斗争阵营便划分出来了。德国浪漫主义者、第二代德国唯心主义者、自然哲学家谢林和黑格尔对康德的宣言发起反击，批驳康德的唯我论，拒绝接受启蒙主义的精神—物质二元论，并复兴了古老的柏拉图主义观点，即任何事物都是由单子这种有感觉的物质组成的。这些自然哲学家描述了单子的层级结构，认为其顶端是非人类的超级智慧，即所谓的“绝对精神”，而这种绝对精神就相当于组成宇宙的有感粒子的逻辑结构。
另一个19世纪的德国哲学派别是亚瑟·叔本华、索伦·克尔凯郭尔、弗里德里希·尼采等人提倡的生命哲学，主张哲学的焦点不应该是枯燥的抽象理论，而应该是生命的主观价值与目的。其他19世纪的反叛者背弃了确定性演算，发展出概率理论，认为这种理论能够用来描述人生中那些随机的不确定事件。为了回应理性科学的兴起，格奥尔格·康托尔创立了集合论和有关无限的哲学，而其最终成果便是神圣的“绝对无限”。20世纪第二个十年，俄罗斯也出现了类似的浪漫主义起义，反对毫无灵魂的微积分，如数学家帕维尔·阿列克谢耶维奇·涅克拉索夫便想利用概率论来“证明”人类具有自由意志；而东正教僧侣、数学家帕维尔·弗洛伦斯基则在莫斯科大力普及康托尔的超限数理论，启发了至上主义流派的诗人、画家，让他们用符号来表达无限的意义。
康托尔创造的无穷和的非欧算术，德国与俄罗斯数学家发明的非欧几何，在19世纪末引发了所谓的数学基础危机。我将在接下来的三章中探讨人们在此后三十年间对这个决定性转折点做出的反应，即形式主义、逻辑主义、直觉主义。在第四章中，我把戴维·希尔伯特的形式主义数学观念描述为一种公理系统，即由抽象、未定义、可替换符号构成的自洽、独立的体系。在详细说明了这一概念如何进入俄罗斯文学界之后，我将介绍俄罗斯构成主义艺术家如何接受了形式主义美学，用未定义的色彩与形式在自主、想象的领域创作油画、雕塑。德国逻辑学家戈特洛布·弗雷格和他的后继人、英国数学家伯特兰·罗素，以逻辑主义（认为数学建立在逻辑之上）为前提，发展出了现代符号逻辑学（第五章）。逻辑主义逐步演变为英国分析哲学，雕塑家亨利·莫尔、芭芭拉·赫普沃思、作家 T. S. 艾略特、詹姆斯·乔伊斯的作品都受到了该哲学影响。希尔伯特和罗素都抱持着现代版的柏拉图主义观点（把柏拉图的理型放在康托尔的集合论中来解释），但重要的直觉主义数学家、荷兰人布劳威尔却声称，抽象物体（如圆形、三角形等）都只存在于人的头脑中（第六章）。进一步发展了拓扑学的布劳威尔，是 19世纪末横扫荷兰的德国浪漫主义思潮中的一分子。在这一思潮的鼓励下，数学家、艺术家纷纷离开城市，去乡村生活，接触自然，并开始相信自己的直觉。业余数学家 M. H. J. 舍恩马克尔斯认识布劳威尔，也经常去艺术家公社，正是他把这些直觉主义理念带给荷兰风格派画家特奥·凡·杜斯伯格和皮特·蒙德里安。
20世纪初的数学家在挖掘各个学术领域的基础时，以爱因斯坦为首的科学家则在探索自然界的对称，如质量与能量的对称——二者可以互相转化（E=mc2 ）。科学家用数学中的群论来描述这样的对称（第七章）。瑞士苏黎世的两位数学家赫尔曼·外尔、安德里亚斯·施派泽撰写了有关群论的科普作品，结果启发了以马克斯·比尔为首的瑞士具体艺术家，令他们创作出了具有惊人对称性的艺术作品。
为数学寻找基础的工作促使数学家创建了一批原理（公理），分别于 1889 年、1899年、1908年、1910—1913年为算数、几何学、集合论、逻辑学奠定了基础。希尔伯特根据这些成果，猜想现有基础之下或许还有更深的一层，也就是一套适用于所有数学分支的根本公理，所以激励数学家同行去进一步探索（第八章）。德国在“一战”中战败后，尽管出现了浪漫主义对精确科学的强烈抵制，但数学家们还是承担起了这项任务。
在第八章中，我还将介绍量子物理在20世纪20年代的诞生，并按照科学史学家马克斯·雅默、保罗·福曼的思路，探讨浪漫主义对“哥本哈根解释”的影响。无论那时还是现在，谁也没有对量子力学的实际应用（为我们提供了今天这个由计算机与智能手机组成的科技世界）有所争执，但尼尔斯·玻尔及门徒维尔纳·海森堡等学科奠基人对它做出的哲学解释，却至今尚存争议。当时，浪漫主义对理性主义的反抗十分流行，这些物理学家受此影响，认为他们的数据有着内在的盖然性，证明了在真实世界最基础的层面上确实是概率为王，用海森堡的话来说，就是“量子力学证明了因果律的最终失败”（海森堡，“不确定性原理”，1927）。
接着，我会介绍之后发生的激烈争论：一方以玻尔、海森堡等德语文化圈的物理学家为代表，声称自然从本质讲不可预测，现实只存在于观测者的意识中；另一方则是坚守决定论的反对派，包括法国物理学家路易·德布罗意、深感恼火的爱因斯坦在内，都认为存在一个独立于人类观察的外在世界，或者用爱因斯坦的话来讲，就是“即使我不看月亮，月亮也依然存在”。在第八章的最后，我会介绍一下 20世纪20年代德国艺术家与包豪斯设计学派在创作中表现出来的以理性和直觉为基础的乌托邦愿景。
那些受到希尔伯特激励的数学家一直都坚信，确实存在一套适用于所有数学分支的根本性公理正等着被人发现。但1931年，维也纳青年逻辑学家库尔特·哥德尔证明了这样一套公理根本不可能存在，因为在人造符号语言中存在着固有的局限性（第九章）。1921年，既支持直觉主义者布劳威尔，也拥护生命哲学家的维也纳人路德维希·维特根斯坦在著作《逻辑哲学论》中，也得出一样的结论，揭示了自然的口头语言存在其固有的局限性。荷兰版画家莫里茨·科内利斯·埃舍尔、比利时画家勒内·马格里特虽然与这些研究成果同处一个时代，而且作品中也同哥德尔、维特根斯坦的证明一样包含着悖论，但如此便认为他们受到了哥氏和维氏的启发，我觉得缺乏历史证据。事实上，这些艺术家、数学家共同的思想源头是19世纪的哲学家，比如谴责体系建立者、沉醉于谜团的尼采。当然，哥德尔、维特根斯坦的证明在20世纪中期得到普及之后，他们的著作确实启发了很多艺术家，如贾斯培·琼斯、谷文达。
在第十章中，我首先会介绍哥德尔1931年的定理之所以重要，不仅是因为其令人吃惊的结果，还在于他为得出这一结果而发明的新方法，即通过计算进行的证明（计算机的研发正有赖于此）。哥德尔并没有进行传统的演绎证明，而是将数学陈述编码后来计算他的定理。在这个新方法的启发下，英国青年数学家艾伦·图灵通过思维实验，探索了能进行计算的机器（“论可计算数”，1936）。三年之后，英国对德国宣战，图灵以密码学家的身份加入了英国政府设在布莱切利园的秘密机构，协助建造真正的机械计算机，来破解德军的恩尼格玛密码机。“二战”结束后，图灵等人在这类简单机器的基础上继续开发，最终催生了计算机行业。
“二战”期间，德语文化圈受到了毁灭性打击，进而导致所有遭受惨痛损失的人在信念上对理性、客观性、可普适知识这些启蒙运动的理念产生了动摇。我将在第十一章中介绍相关情况。不过，在那些没有遭到毁灭性打击、德国唯心主义传统也不根深蒂固的国家（如法国、英国、美洲各国），1945 年之后的艺术家仍然对启蒙思想抱有信心，故而创造出了整齐有序、手法超然、表现了人类理性力量的几何抽象艺术。这些国家战后成长起来的一代科学家成竹在胸，坚信自己能通过对次原子粒子的微观世界和宇宙的宏观世界更加深入的探索，最终找到稳定且可预测的规律（图0-3、0-4）。
在第十二章中，我会讲述“二战”后计算机在英美的迅猛发展，以及数学家和艺术家如何将电脑应用到各自的工作领域：数学中的运用包括分形几何（1975）与第一个计算机辅助证明（1976）；艺术中的运用则包括数字摄影以及电影中用计算机动画制作的“特效”。

0-3.猫眼星云（NGC 6543）的光晕，摄于 2008 年。照片来自史蒂芬·宾尼维斯、约瑟夫·珀普瑟尔，希腊克里特岛斯金纳卡斯山卡佩拉天文台。猫眼星云是一颗类太阳恒星，但不知为何失去了外包层，结果便形成了这种“光晕”。这簇星云位于 3000 光年以外的天龙座。

相较之下，柏林与哥廷根的数学与科学中心在1945年之后则乱成一团，曾在战时逃离德国的犹太人西奥多·阿多诺、马克斯·霍克海默回到祖国后，撰写了《启蒙辩证法》（1947），首次深入分析了人们如何对启蒙思想失去信心（这一状况后来被称为后现代主义，第十三章）。在本书的最后，我会谈一谈后现代主义对“真理”“确定性”等术语的批判为何基本上（不是完全）没有影响到数学——原因就是这些概念本来便在数学史中根深蒂固、难以动摇。确实，正是因为它的确定性，数学才在现代文化中占据了独特地位，使得它与自然世界的相互影响成了一切科学和技术的基础。
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我在本书中介绍的数学与艺术的互动中，几乎都是艺术家从某种数学研究中得到了灵感，而非数学家受到了某件艺术作品的启发（不包括那些努力追求优美与雅致这种美学特质的数学家，因为他们并不是受到了具体某件作品的影响）。不过，我还是发现了一些特例，比如 19 世纪的法国工程师让 - 维克托·彭赛列，就曾以文艺复兴时期的建筑师菲利波·布鲁内列斯基的直线透视法为基础，创立了射影几何学。
介绍相关影响时，我尽量避开了学术语境的模糊表达，竭力指明了数学家的研究与艺术家的创作所具有的特殊联系，如某份历史档案或者某种数学知识在艺术家中的普及。有时在情况已知且合适时，我会运用心理学方法来介绍某位数学家、艺术家的性格或者思想背景；在其他情况下，则会把他们视作特定文化环境的产物，因此更倾向于使用社会学手段。

猫眼星云（NGC 6543）的中心，2004年。美国国家航空航天局、欧洲航天局、哈勃欧洲空间局信息中心和哈勃遗产团队（STScI/AURA）。这一团闪光的云状物位于猫眼星云的中心，由一系列时间相隔1500年的脉冲形成。在此期间，这颗恒星至少喷射了十一道气体光环。最外层可见光环的直径为1.2光年。

序言 viiii
前言 xi
第一章 算术与几何 1
第二章 比例 73
第三章 无限 109
第四章 形式主义 151
第五章 逻辑主义 197
第六章 直觉主义 225
第七章 对称 249
第八章 “一战”后的乌托邦愿景 277
第九章 数学的不完备性 321
第十章 算法 355
第十一章 “二战”后的几何抽象艺术 385
第十二章 在数学与艺术中的计算机 455
第十三章 后现代的柏拉图主义 499

注释　512
版权归属　543
致谢　545