控制之美（卷2）——最优化控制MPC与卡尔曼滤波器

本书是一本围绕最优控制理论展开的实用指南，以深入浅出的方式介绍了最优控制理论、动态规划、线性二次型调节器（LQR）、模型预测控制（MPC）和卡尔曼滤波器以及它们之间的联系，并展示了它们在综合应用中的使用方法与技巧。本书旨在为读者提供全面而直观的学习资源，同时将这些概念有机地应用于实际控制问题。通过书中丰富的例子和详细的代码，读者可以直接实践和验证所学内容，从而深化对这些理论的理解。

本书的目标读者群体为自动化类专业的本科生和研究生以及相关领域的科研人员。

王天威(网名DR CAN) 博士，机器人高级研发工程师

2016年毕业于美国Clemson 大学机械工程系，获博士学位，研究方向为动态系统与控制理论。攻读博士学位期间发表多篇SCl文章，担任多个SCI期刊、会议，以及国家基金项目的评审工作。自2017年起在B站上制作控制理论相关视频课程，涵盖了控制专业本科与研究生的专业课程，包括现代控制理论、经典控制理论、非线性控制理论、优化控制理论、动态系统的建模与分析等。

黄军魁，博士，汽车电池电机热管理系统仿真工程师。

2019年毕业于美国Clemson 大学机械工程系，获博士学位，研究方向为电动汽车、混和动力汽车热管理系统建模与控制理论应用。

本书全面而深入地介绍了优化控制和卡尔曼滤波器的复杂理论和技术。

前言

2022年6月，《控制之美（卷1）——控制理论从传递函数到状态空间》问世，在其后的一年时间销售了2万余册，并被评选为清华大学出版社2022年度十佳图书。这是一个远超我预期的荣誉与成绩，我倍感敬畏，也充满感激。与此同时，我在B站的频道也获得了更多的关注。目前，频道粉丝数量已经突破了26万，视频的观看量也已接近千万。每一个读者和频道粉丝的信任与支持都是我前进的动力，激励我坚定地继续探索和前行。

在本书中，我为大家呈现了一系列读者和频道粉丝朋友们最关注并且频繁提问的相关控制理论内容。这些内容也是近年来备受关注的热门话题，其中包括最优控制理论、动态规划、线性二次型调节器（LQR）、模型预测控制（MPC）以及卡尔曼滤波器。对于这些内容，现有的资料既有深入研究的理论文献，也有通俗易懂的科普读物。然而，理论文献常常使读者望而却步，而浅显的介绍又常常流于表面，无法满足读者深入理解和应用的需求。因此，在本书中，我尝试走一条中间的路，既能深入剖析理论，又力求简明易懂，直观地呈现这些复杂的概念，为读者提供更好的学习体验。

为了使理论更加生动具体，本书配有大量实例。每个实例都附有完整的代码以及详细的代码注释，使读者能直接动手实践和验证理论。读者也可以从中学习案例的设计思路、实验方法和结果分析，从而在自己的工作中运用类似的方法进行研究和表达。本书并没有将LQR、MPC和卡尔曼滤波器作为各自完全独立的主题进行讨论，而是追求一种全方位的视野，将它们有机地融合在一起，并通过讲解它们之间的联系和展示综合应用的方法与技巧，帮助读者构建起更完整的控制理论框架。

在本书的编写过程中，有幸邀请到我在Clemson大学的师弟黄军魁博士共同参与。他深厚的学识和独到的视角对本书的完善起到了关键的作用。在此，我要向他表达由衷的感谢。他的贡献和努力令这本书的质量大幅度提升，更好地实现了我一直以来的目标： 以简单的语言讲述复杂的知识。

我还要感谢清华大学出版社栾大成主任和杨迪娜编辑。他们的专业素养、严谨态度和无私奉献使这本书能够更好更快地呈现在读者面前。

在本书的编写过程中，我深切怀念和感激我的父亲王翼清。尽管他已经不在我的身边，但他对我的影响和支持在我心中永存。我要感谢我的母亲宋津丽对我一如既往的鼓励。她的支持不仅给予我动力和勇气，还是我在人生道路上的坚实后盾。

感谢我的爱人王莎莎博士在我写作的过程中对家庭的奉献与付出，她的理解和支持让我能够全身心地投入写作中。她虽然不是控制专业人士，但时常能带给我启迪和创作灵感。感谢我的儿子王逸飞，在我编写《控制之美（卷1）——控制理论从传递函数到状态空间》的时候他还不会说话，只能用微笑给我无声的鼓励。而现在，每当我遇到困难或感到疲惫时，他总能用天真的语言和深情的拥抱给我带来力量。他无条件的爱是我在写作过程中收获的最宝贵的财富。

最后，我要向所有的读者和B站的粉丝表示衷心的感谢。正是你们的关注和支持、建议与批评，让我有信心和勇气去分享自己的经验和知识。我希望本书能够为您带来启发和帮助，让我们共同探索控制之美的奥妙。

王天威

2023年9月

感谢我的爱人郑欣，你的无私奉献和理解使我能够专注于创作这本书。感谢我的女儿黄思远，你的笑容和纯真让我在写作的过程中获得无限的灵感和动力。同样感谢我的母亲陈淑清、父亲黄锦华，感谢你们一直以来的支持和鼓励。此外，特别感谢我的师兄王天威邀请我共同编写此书，他的智慧、创意和奉献精神为本书增添了独特的价值。感谢他在整个过程中的辛勤工作和大力支持，帮助我排除了种种疑虑，鼓励我攻克重重难关。

黄军魁

2023年9月

目录

第1章绪论

1.1动态系统与控制系统

1.2本书的内容与特点

第2章数学基础

2.1线性时不变系统状态空间方程的解

2.2连续系统离散化

2.2.1系统离散化的基本概念

2.2.2连续系统状态空间方程离散化

2.3矩阵与向量的导数

2.3.1标量方程对向量的导数

2.3.2向量方程对向量的导数

2.3.3常用的矩阵求导公式

2.3.4标量方程对向量求导的链式法则

2.3.5标量方程对矩阵的导数

2.4向量矩阵求导的应用——线性回归

2.4.1解析解

2.4.2梯度下降法

2.5本章重点公式总结

第3章最优控制的基本概念

3.1引子——独轮车模型

3.1.1数学模型建立

3.1.2最优控制场景分析

3.2最优控制问题的组成与性能指标

3.2.1最优控制问题的组成

3.2.2常见的最优控制问题

3.3控制问题构建以及性能指标的选择

3.3.1平衡车控制

3.3.2无人机高度控制

3.4本章重点公式总结

第4章动态规划与线性二次型调节器

4.1贝尔曼最优化理论

4.2数值方法

4.2.1问题提出——无人机高度控制

4.2.2暴力算法

4.2.3逆向分级求解方法

4.2.4动态规划查表法

4.2.5代码分析与编程技巧

4.3解析方法——动态规划的递归关系

4.3.1动态规划的递归关系——离散系统

4.3.2离散型一维案例分析——动态规划递归算法

4.3.3动态规划的递归关系——连续系统

4.3.4连续型一维案例分析——HJB方程

4.4线性二次型调节器

4.4.1离散型线性二次型系统

4.4.2离散型一维案例分析——LQR方法

4.4.3连续型线性二次型系统

4.4.4连续型一维案例分析——LQR方法

4.4.5平衡车控制——连续系统案例分析

4.5轨迹追踪问题分析

4.5.1问题提出——弹簧质量阻尼系统

4.5.2引入控制目标误差

4.5.3稳态非零参考值控制

4.5.4输入增量控制

4.5.5输入增量控制——追踪非常数参考值

4.6无人机控制案例分析

4.6.1模型与系统的建立

4.6.2无约束轨迹追踪

4.6.3对输入的约束

4.7本章重点公式总结

第5章模型预测控制

5.1模型预测控制的基本概念

5.2二次规划问题

5.2.1无约束情况的解析解

5.2.2等式约束——拉格朗日乘数法

5.2.3不等式约束——数值方法与商业软件

5.3模型预测控制推导——无约束调节问题

5.3.1线性离散系统转化为标准形式

5.3.2将性能指标转化为二次规划的标准形式

5.3.3无约束条件下的解析解

5.3.4一维案例分析——与LQR的比较

5.3.5一维案例分析——MPC控制器的反馈特性

5.4轨迹追踪问题分析

5.4.1稳态非零参考值控制

5.4.2输入增量控制

5.5含有约束的模型预测控制

5.5.1约束转化为标准形式

5.5.2控制量和状态变量上下限约束转化为标准形式

5.5.3案例分析——软约束与硬约束的讨论

5.6案例分析——无人机高度控制

5.6.1控制器的构建与结果分析

5.6.2预测区间的影响

5.6.3采样时间的选择

5.7MPC的发展方向讨论

5.8本章重点公式总结

第6章卡尔曼滤波器

6.1递归算法与数据融合

6.2概率论初步，数据融合与协方差矩阵

6.2.1连续型随机变量的期望与方差

6.2.2正态分布

6.2.3测量误差融合案例

6.2.4协方差与协方差矩阵——统计学直观理解

6.2.5协方差与协方差矩阵——随机变量

6.3线性卡尔曼滤波器推导

6.3.1卡尔曼滤波器的研究模型

6.3.2卡尔曼增益求解

6.3.3卡尔曼滤波器算法说明

6.4案例分析

6.4.1仿真测试准备工作

6.4.2仿真结果与讨论

6.4.3卡尔曼滤波器与MPC控制器的结合

6.5扩展卡尔曼滤波器

6.5.1扩展卡尔曼滤波器算法

6.5.2案例分析

6.6本章重点公式总结

附录A代码汇总与说明

参考文献