力学分析中的对称性和守恒律

《力学分析中的对称性和守恒律》以力学分析中的对称性和守恒律为中心，从基本概念出发，结合实际应用，系统地、深入浅出地介绍了对称性和守恒律的主要内容。《力学分析中的对称性和守恒律》首先由变分原理和Euler-Lagrange方程引出对称性和守恒律中常用的微分算子，作为后续分析的预备知识。后续内容主要分为三部分：第一部分详细介绍了微分方程（组）中Lie对称、Noether守恒律和Ibragimov守恒律的基本知识；第二部是第一部分的推广，研究了扰动微分方程（组）的近似Lie对称性、近似Noether守恒律和近似Ibragimov守恒律，此外还简要介绍了势对称和近似势对称；第三部分通过大量应用实例，介绍了对称性和守恒律在弹性力学、流体力学、一般力学和数学物理方程等领域中的应用。

目录　
丛书序　
前言　
第1章　变分原理、Euler-Lagrange方程与微分算子　1　
1.1　变分原理与泛函　1　
1.2　Euler-Lagrange方程　2　
1.2.1　一阶泛函的驻立值问题　2　
1.2.2　高阶泛函的驻立值问题　4　
1.3　微分算子　6　
1.3.1　全微分算子　6　
1.3.2　Euler-Lagrange算子　7　
第2章　常微分方程的Lie　对称分析　10　
2.1　单参数Lie变换群及其延拓　10　
2.1.1　单参数Lie变换群　10　
2.1.2　无穷小生成元　14　
2.1.3　正则坐标　16　
2.1.4　对称性　17　
2.1.5　无穷小生成元的延拓　18　
2.2　Lie代数　24　
2.2.1　Lie代数与Lie括号　24　
2.2.2　Lie代数的性质　25　
2.2.3　可解Lie代数　28　
2.3　正则变量方法求解微分方程　29　
2.3.1　正则变量方法　29　
2.3.2　求解微分方程步骤　30　
2.4　微分方程的对称性　34　
2.4.1　微分方程的对称性定理　34　
2.4.2　一阶微分方程的决定方程　35　
2.4.3　二阶微分方程的决定方程　37　
2.5　Lie-B.cklund算子　41
2.6　Lie-B.cklund代数　45　
2.7　Lie-B.cklund对称性.50　
2.7.1　扩展标架　50　
2.7.2　Lie-B.cklund对称性表达式　51　
2.8　多参数Lie变换群及其延拓　56　
2.8.1　多参数Lie变换群及其无穷小生成元　56　
2.8.2　双参数Lie变换群无穷小生成元的延拓　57　
2.9　基于符号计算系统的Lie对称分析　60　
2.9.1　符号计算系统　60　
2.9.2　常用符号计算软件　61　
第3章　偏微分方程组的Lie对称分析　63　
3.1　单参数Lie变换群及其延拓　63　
3.1.1　单参数Lie变换群　63　
3.1.2　无穷小生成元　66　
3.1.3　无穷小生成元的延拓　68　
3.2　方程组的对称性　77　
3.3　微分方程组的对称性　80　
3.4　Lie-B.cklund算子与代数　83　
3.4.1　Lie-B.cklund算子　83　
3.4.2　Lie-B.cklund代数　86　
3.5　Lie-B.cklund对称性　87　
3.6　多参数Lie变换群及其延拓　94　
3.6.1　多参数Lie变换群及其无穷小生成元　94　
3.6.2　双参数Lie变换群无穷小生成元的延拓　95　
第4章　Noether守恒律　99　
4.1　具有单变量的物理系统的Noether守恒律　100　
4.1.1　单变量情形下的Euler-Lagrange方程　100　
4.1.2　单变量情形下的Noether守恒律及其证明　100　
4.2　具有多变量的物理系统的Noether守恒律　114　
4.2.1　多变量情形下的Euler-Lagrange方程　114　
4.2.2　多变量情形下的Noether守恒律及其证明　115　
4.2.3　关于部分/全表面边界条件的讨论　130　
4.3　双参数变换群条件下的Noether守恒律　132　
4.3.1　双参数单变量Noether定理　132　
4.3.2　双参数多变量Noether定理　135
第5章　Ibragimov守恒律140　
5.1　伴随算子与伴随方程（组）　140　
5.1.1　伴随算子　140　
5.1.2　伴随方程——线性微分方程　142　
5.1.3　伴随方程组——非线性微分方程组　148　
5.2　伴随方程（组）的对称性　150　
5.2.1　微分方程情形　150　
5.2.2　微分方程组情形　155　
5.3　Ibragimov守恒律表达式156　
5.4　双参数变换群条件下的Ibragimov守恒律　159　
第6章　近似Lie对称性　164　
6.1　近似Lie代数　164　
6.1.1　近似Lie代数的定义　164　
6.1.2　近似对称的代数性质　165　
6.1.3　近似不变量　167　
6.2　近似算子与算子近似阶次确定　168　
6.2.1　近似Lie算子与近似Lie-B.cklund算子　168　
6.2.2　算子近似阶次确定　169　
6.3　微分方程（组）近似Lie对称的性质　174　
6.4　方程组的近似Lie对称性　176　
6.5　微分方程组的近似Lie对称性　179　
6.5.1　微分方程组近似Lie对称性证明　179　
6.5.2　近似Lie算子的延拓　183　
6.6　近似Lie-B.cklund算子与对称性　185　
6.6.1　近似Lie-B.cklund算子的延拓　186　
6.6.2　近似Lie-B.cklund对称性　186　
第7章　近似Noether守恒律　194　
7.1　近似Noether算子与算子近似阶数确定　194　
7.1.1　近似Noether算子　194　
7.1.2　算子近似阶次确定　195　
7.2　近似Noether守恒律及其求解方法　199　
7.2.1　部分Lagrange函数　199　
7.2.2　近似Noether守恒律表达式　200　
7.2.3　求解方法总结　201　
第8章　近似Ibragimov守恒律　202
8.1　伴随方程（组）的对称性　202　
8.1.1　伴随方程组　202　
8.1.2　微分方程情形　203　
8.1.3　微分方程组情形　206　
8.2　近似Ibragimov守恒律表达式　209　
第9章　势对称与近似势对称　212　
9.1　势对称含义　212　
9.2　微分方程的势对称　212　
9.2.1　偏微分方程的势对称　213　
9.2.2　常微分方程的势对称　218　
9.2.3　原方程和辅助系统的Lie对称变换　220　
9.2.4　守恒形式　220　
9.3　微分方程的近似势对称　221　
第10章　弹性力学中的应用　224　
10.1　杆的平衡方程的守恒律　224　
10.2　梁的平衡方程的守恒律　226　
10.3　平面问题的位移法方程的对称性和守恒律　229　
10.3.1　Lie对称性　230　
10.3.2　Noether守恒律　234　
10.4　三维问题的位移法方程的对称性　237　
10.5　疲劳裂纹扩展方程的对称性和守恒律　246　
10.5.1　Lie对称性　247　
10.5.2　Lie-B.cklund对称性　248　
10.5.3　Noether守恒律　250　
10.5.4　Ibragimov守恒律　250　
10.6　功能梯度材料的路径无关积分与裂纹扩展力　251　
10.6.1　均质材料平面问题的守恒律　252　
10.6.2　功能梯度材料的路径无关积分　254　
10.6.3　裂纹扩展力　256　
10.7　物理平面上解析函数的守恒积分及其应用　257　
10.7.1　解析函数的守恒积分　257　
10.7.2　关于守恒积分的讨论　262　
10.7.3　平面弹性体裂纹的守恒积分　263　
10.8　V型平面缺口问题中的守恒积分及其应用　265　
10.8.1　基于平面弹性力学复势理论的Lagrange函数　266
10.8.2　基于Noether定理的守恒律　269　
10.8.3　在V型缺口问题中的应用　271　
10.9　纵向剪切问题中V型缺口的守恒积分及其应用　276　
10.9.1　Lie对称分析　277　
10.9.2　守恒积分　281　
10.9.3　在尖锐V型缺口问题中的应用　283　
第11章　流体力学中的应用　292　
11.1　KdV方程的变分对称性　292　
11.2　KdV方程的高阶对称性　294　
11.2.1　伴随方程与Lagrange函数　294　
11.2.2　守恒律　295　
11.3　扰动KdV方程的高阶近似对称性　301　
11.4　mKdV方程的Ibragimov守恒律　305　
11.4.1　Ibragimov守恒律　305　
11.4.2　微分Lagrange算子方法　.308　
11.5　Maxwell分布的Ibragimov守恒律　310　
11.6　Navier-Stokes系统的Ibragimov　守恒律　312　
第12章　一般力学中的应用　316　
12.1　三维情况质点系统的守恒定律　316　
12.1.1　时间平移不变性——能量守恒　321　
12.1.2　空间平移不变性——动量守恒　321　
12.1.3　空间旋转不变性——角动量守恒　322　
12.2　自由落体运动的守恒律　323　
12.3　一维阻尼振子的守恒律　325　
12.4　一维运动方程的Ibragimov守恒律　325　
12.5　两质点系统扰动方程的近似对称性和守恒律　327　
12.5.1　近似Lie对称性　328　
12.5.2　近似Noether对称性　331　
12.5.3　近似Ibragimov守恒律　333　
12.6　含扰动结构动力响应方程的近似对称性和守恒律　334　
12.6.1　近似Lie对称性　335　
12.6.2　近似Noether守恒律　343　
12.7　非线性振动方程的对称性和守恒律　348　
12.7.1　一般形式非线性振动方程的对称性和守恒律　348　
12.7.2　Duffing振动方程的对称性和守恒律　356
12.7.3　Duffing振动方程的分叉现象　362　
12.7.4　Duffing振动方程的守恒律和分叉现象的关系　364　
12.8　颤振方程的对称性和守恒律　364　
12.8.1　线性气动力和力矩　365　
12.8.2　非线性气动力和力矩　374　
第13章　数学物理方程中的应用　380　
13.1　热传导方程的Ibragimov守恒律　380　
13.1.1　伴随方程与Lagrange函数　380　
13.1.2　守恒律　381　
13.2　非线性热传导方程的Ibragimov守恒律　385　
13.2.1　伴随方程与Lagrange函数　385　
13.2.2　守恒律　390　
13.3　非线性热传导方程的势对称　393　
13.4　Burger方程的势对称　394　
13.5　非均匀介质中波动方程的势对称　395　
13.6　非均匀介质中扰动波动方程的近似势对称　398　
13.7　带有扰动对流项的非线性扩散方程的近似势对称　401　
13.8　Duffing方程的Lie对称性　404　
13.8.1　确定性外力　405　
13.8.2　均值为0的随机