结构力学中的定性理论

本书主要包括两方面内容：一为结构力学中多种常见结构的振动和静变形的定性性质,主要是振动模态的定性性质；另为结构力学中梁、板、壳、组合弹性结构理论等结构理论中解的存在性等基础理论. 鉴于目前国内外有关结构力学中的定性理论的著作甚少，本书的出版或可适时地为相关领域的同行提供一本既有理论意义又有实用价值的参考书.
全书共分九章：第一章是结构力学中的定性理论的概论；第二章是振荡矩阵和振荡核理论的概述；第三至第六章论述弦、杆和梁的振动和静变形的定性性质；第七章论述重复性结构的连续系统和离散系统的振动和静变形的定性性质；第八章论述一般结构的模态的三项定性性质；第九章论述弹性力学和结构理论中解的存在性等基础理论. 自2014 年本书第一版问世至今，有几项重要的定性性质被揭示，它们被吸收入第二版.
本书内容兼顾理论与应用，作者精心地整理和吸收了有关定性理论的文献与专著的精华，并反映了作者五十余篇论文的研究成果. 本书体例编写独特，如第一章给出了全书的重要结果，工程技术人员可以直接应用这些结果，具有不同背景的读者可以各取所需地研读全书.本书可以作为有关力学和结构工程、机械工程专业的研究生教材，也可以作为从事力学理论研究及在结构工程、机械工程中进行振动实验、计算和设计的研究人员与工程人员的参考书.

王大钧，王其申，何北昌
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王大钧，北京大学力学与工程科学系、湍流与复杂系统国家重点实验室教授。1956年毕业于北京大学数学力学系。在结构理论解的存在性与结构理论模型的合理性、流固耦合系统的非线性振动、结构振动的定性理论等方面获得重要成果。合著有《旋转壳的应力分析》，合译有《振动中的反问题》。曾任中国振动工程学会常务理事、结构动力学专业委员会主任委员。
王其申，安庆师范学院物理与电气工程学院教授。 1970年毕业于北京大学数学力学系。在结构振动的定性性质及反问题等的研究中取得丰厚成果。出版了个人论文集《弹性动力学的几个专题》，译有《振荡矩阵、振荡核和力学系统的微振动》。 现任安徽省力学学会和安徽省振动工程学会理事，中国振动工程学会结构动力学专业委员会委员。
何北昌，美国卡内基梅隆大学计算力学博士。1981年考入北京大学力学系, 1988年获北京大学硕士学位。1996年获博士学位后在美国通用电气公司任高级工程师和技术领导，在计算机辅助设计，结构优化，提高设计效率和质量等方面做出重要贡献。在结构振动反问题和定性性质等多个领域发表过研究论文和技术报告，合译有《振动中的反问题》。

第一章概论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 结构力学定性理论的发展简史. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 结构力学定性理论的研究内容. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 主要理论结果及其论证方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 结构力学中定性理论的理论和应用意义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 杆的振动的定性性质要览. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 梁的振动的定性性质要览. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 重复性结构的振动和静变形的定性性质要览. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 一般结构的模态的三项定性性质要览. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 弹性力学和结构理论中解的存在性等基础理论要览. . . . . . . . . . . . . . 20
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
第二章振荡矩阵和振荡核及其特征对的性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 若干符号和定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 有关子式的一些关系式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Jacobi 矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2.4 振荡矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Perron 定理和复合矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 振荡矩阵的特征对. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 具有对称核的积分方程和振荡核. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8 积分方程的Perron 定理和复合核. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9 具有振荡核的积分方程的特征对. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.10 静变形的振荡性质、柔度函数(柔度矩阵) 为振荡核(振荡矩阵)、
振动的振荡性质三者的关系· · · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.11 从振荡矩阵到振荡核. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
第三章弦、杆的离散系统的振动和静变形的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1 弦和杆的离散系统. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2 弹簧–质点系统的振动和静变形的基本定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . .80
3.3 弹簧–质点系统的振型的充要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 杆的差分离散系统的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 杆的有限元离散系统的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
3.6 无质量弹性杆–质点系统的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7 具有弹性基础的弦和杆的离散系统的模态的定性性质. . . . . . . . . . . 101
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
第四章梁的离散系统的振动和静变形的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1 梁的差分离散模型和相应的物理模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2 充分约束梁的差分离散模型的振动和静变形的定性性质. . . . . . . . .108
4.3 约束不足梁的差分离散系统的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . .111
4.4 梁的差分离散系统的各种振型的变号数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5 由模态构造梁的差分离散系统独立模态的个数. . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6 不同支承梁的差分离散系统的固有频率的相间性. . . . . . . . . . . . . . . 128
4.7 梁的有限元离散系统的振荡性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.8 多跨梁的离散系统的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.9 外伸梁的离散系统的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
第五章Sturm-Liouville 系统的振动和静变形的定性性质. . . . . . . . . . . . . 157
5.1 Sturm-Liouville 系统的固有振动. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.2 Sturm-Liouville 系统的Green 函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3 Sturm-Liouville 系统的振动和静变形的振荡性质. . . . . . . . . . . . . . . 165
5.4 杆的独立模态的个数及振型的进一步性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.5 不同边界支承的杆的固有频率的相间性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.6 离散系统与连续系统的比较. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
第六章梁的振动和静变形的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.1 梁的运动微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2 梁的Green 函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
6.3 充分约束梁的静变形和振动的振荡性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.4 约束不足梁的振动和静变形的振荡性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.5 由模态构造梁梁的独立模态的个数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.6 梁的固有频率的其他性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.7 外伸梁的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.8 轴向受拉梁的横向振动的振荡性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
第七章重复性结构的振动与静变形的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.1 对称结构的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.2 旋转周期结构的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.3 线周期结构的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266
7.4 链式结构的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.5 轴对称结构的模态的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273
7.6 重复性结构的强迫振动. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.7 重复性结构的振动控制和形状控制的降维方法. . . . . . . . . . . . . . . . . .278
7.8 重复性结构的静变形的定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
第八章一般结构的模态的三项定性性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.1 结构参数改变对固有频率的影响. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.2 模态对结构参数改变的敏感性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294
8.3 振型的节的一些性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
第九章结构力学中解的存在性理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
9.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313
9.2 结构理论中三类问题的变分解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9.3 泛函极值解的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322
9.4 弹性力学中静变形解和模态解的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
9.5 结构理论中静变形解和模态解的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.6 结构理论模型的合理性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.7 Ritz 法在结构理论求解中的收敛性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .358
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365